证明题(1949年河北工业大学

试证椭圆的二共轭直径与一准线所作之三角形之垂心为一定点.

答案解析

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讨论

Consider the convex quadrilateral ABCD. The point P is in the interior of ABCD. The following ratio equalities hod:∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.Prove that the following three lines meet in a point : the internal bisectors of angles ∠ADP and ∠PCB and the perpendicular bisector of segment AB.设P是凸四边形ABCD内部一点,且满足:∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.证明:∠ADP的内角平分线、∠PCB的内角平分线和线段AB的中垂线,三线共点。 (波兰供题)

已知△ABC三内角的大小成等差数列,tanAtanC=2+,求角A,B,C的大小;又知顶点C的对边c上的高等于4,求三角形各边a,b,c的长.(提示:必要时可验证(1+)2=4+2)

叙述并证明勾股定理.

CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高,已知△ADC,△CBD,△ABC的面积成等比数列,求∠B(用反三角函数表示).

锐角△ABC中,AB>AC,M为其外接圆⊙O的劣弧BC的中点,K为A的对径点,过O作OD∥AM交AB于D,交CA的延长线于E,直线BM交直线CK于P,直线CM交直线BK于Q. 求证:∠OPB+∠OEB=∠OQC+∠ODC.

魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作,其中第一题是测海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=【 】

设D是锐角三角形ABC(AB>AC)内部一点,使得∠DAB=∠CAD.线段AC上的点E满足∠ADE=∠BCD,线段AB上的点F满足∠FDA=∠DBC,且直线AC上的点X满足CX=BX.设O1和O2分别为三角形ADC和三角形EXD的外心.证明:直线BC,EF和O1O2共点.

我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3,4,记大正方形的面积为S1,小正方形的面积为S2,则S1/S2 =___________.

从山顶D测得地面上同一方向的两点A和B的俯角分别是30°和45°,已知AB=40米,求山高(精确到0.1)

一只船以20海里/小时的速度向正东航行,起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向,一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向,求这时船和灯塔的距离CB.

以(2,1)为焦点,直线3x-4y-5=0为准线,1/2为离心率的椭圆方程,求此椭圆主轴的长.

从一抛物线之焦点引各切线之垂线,试求其垂足之轨迹.

椭圆9x²+y²=9与直线4x+y+5=0是否相切? 并说明其理由.

已知椭圆之方程为x²+9y²=40, 此椭圆存二切线与直线9x-y=0垂直,试求此二切线方程.

求一椭圆之垂直两切线之交点的轨迹

已知 A, B 分别为椭圆 E : +y2 = 1(a > 1) 的左、右顶点, G 为 E 的上顶点, = 8, P 为直线 x = 6上的动点, PA 与 E 的另一交点为 C, PB 与 E 的另一交点为 D.(1) 求 E 的方程;(2) 证明: 直线 CD 过定点.

已椭圆 +y2 =1,圆x2 + y2=4,从圆上一点作椭圆的切点弦,求切点弦所围成的面积.

已知椭圆 C : x2/a2 +y2/b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为/2 , 且过点 A(2, 1).(1) 求 C 的方程;(2) 点 M, N 在 C 上, 且 AM ⊥ AN, AD ⊥ MN, D 为垂足. 证明: 存在定点 Q, 使得 |DQ| 为定值.

已知椭圆 C : x2/a2 +y2/b2 =1过点 A(−2, −1), 且 a = 2b.(I) 求椭圆 C 的方程;(II) 过点 B(−4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M, N, 直线 MA, NA 分别交直线 x = −4 于点 P, Q. 求 |PB|/|BQ|的值.

已知椭圆 x2/a2 +y2/b2 =1 (a > b > 0) 的一个顶点为 A(0, −3), 右焦点为 F , 且 |OA| = |OF|, 其中 O 为原点.(I) 求椭圆的方程;(II) 已知点 C 满足 3=, 点 B 在椭圆上 (B 异于椭圆的顶点), 直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点P , 且 P 为线段 AB 的中点. 求直线 AB 的方程.