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竞赛2006年全国高中数学联赛( )

将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和.记S=∑1≤i<j≤5xi xj .问:

(1)当x1,x2,x3,x4,x5取何值时S取到最大值?

(2)进一步地,对任意1≤i<j≤5有|xi-xj |≤2,当x1,x2,x3,x4,x5取何值时,S取到最小值?说明理由.

(1)不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5,且x1+x2+x3+x4+x5=2006.

若x2-x1>2,则令x1'=x1+1,x2'=x2-1.

此时S'-S=[x1' x2'+(x1'+x2' )(x3+x4+x5 )]-[x1 x2+(x1+x2)(x3+x4+x5)]

=x1' x2'-x1 x2=(x1+1)(x2-1)-x1 x2=x2-x1-1>0.

称为述过程为一次调整.每次调整后,将使得S值增大.于是经过有限次调整后可使得对任意1≤i<j≤5都有|xi-xj |≤2,同时S达到最大.

由于2006=5×401+1,则当x1=x2=x3=x4=401,x5=502时,

Smax=6×4012+4×401×402=1609614.

(2)依题意,x1+x2+x3+x4+x5有三种情形:

①400+400+402+402+402;

②400+401+401+402+402;

③401+401+401+401+402.

简单计算得S1=3×4022+6×400×402+4002=1609612;

S2=400×1606+4012+4×401×402+4022=1609613.

所以,当x1=x2=400,x3=x4=x5=402时,Smin=1609612.

竞赛2006年全国高中数学联赛( )

方程(x2006+1)(1+x2+x4+⋯+x2004 )=2006x2005的实数解的个数为__________.

1

方程两边同除以x2005

(x+1/x2005 )(1+x2+x4+⋯+x2004 )=2006

⟺x+x3+x5+⋯+x2005+1/x2005 +1/x2003 +1/x2001 +⋯+1/x=2006

⟺2006=(x+1/x)+(x3+1/x3 )+⋯+(x2005+1/x2005 )≥2∙2003=2006

要使等号成立,必须x=1/x,x3=1/x3 ,⋯,x2005=1/x2005 ,即x=±1.

但x≤0不满足原方程,所以x=1是原方程的唯一解.

竞赛2006年全国高中数学联赛( )

设logx⁡(2x2+x-1)>logx⁡2-1,则x的取值范围为【 】.

A、1/2<x<1

B、x>1/2且x≠1

C、x>1

D、0<x<1

x>1/2且x≠1

因为,解得x>1/2,x≠1,

由logx⁡(2x2+x-1)>log_x⁡2-1⟹logx⁡(2x3+x2-x)>logx⁡2⟹

解得0<x<1或,解得x>1.

所以x的取值范围为x>1/2,且x≠1.

高考1962年全国统考( )

解方程组

并讨论a取哪些实数时,方程组

(1)有不同的两实数解;

(2)有相同的两实数解;

(3)没有实数解.

由y=x+a得x=y-a,代入上一方程并化简得y2-6y(4a+1)=0,

解得y=3±2,x=y-a=3±2-a.

即方程组的解为

,

(1)当2-a>0,即a<2时,方程组有不同的两实数解;

(2)当2-a=0,即a=2时,方程组有相同的两实数解;

(3)当2-a<0,即a>2时,方程组没有实数解.

高考1962年全国统考( )

解方程lg(x-5)+lg(x+3)-2lg2=lg(2x-9).

原方程化为lg⁡(x-5)(x+3)/4=lg⁡(2x-9)⟹(x-5)(x+3)/4=2x-9

整理得x2-10x+21=0,

解得x=3,x=7,

而当x=3时,x-5<0,2x-9<0无意义,

故原方程的解为x=7.