高中数学-高考试题(全国乙·理 2021年导数的应用)

问答题（2021年全国乙·理）

设函数f(x)=ln⁡(a-x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.

(1)求a；

(2)设函数g(x)=(x+f(x))/(xf(x)).证明：g(x)<1.

答案解析

(1) f' (x)=1/(x-a),y'=ln⁡(a-x)+x/(x-a),∵ x=0是函数y=xf(x)的极值点,∴ y' (0)=ln⁡a=0,得a=1.(2)由(1)得f(x)=ln⁡(1-x),g(x)=(x+f(x))/(xf(x))=(x+ln⁡(1-x))/(xln(1-x)),x<1,x≠0,当x∈(0,1)时, ln⁡(1-x)<0，要证g(x)=(x+ln⁡(1-x))/(xln(1-x))<1,即证x+ln⁡(1-x)>xln(1-x),化简得: x+(1-x)ln⁡(1...

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讨论

函数的极值与最值

设函数f(x)满足：对任意非零实数x，均有f(x)=f(1)∙x+f(2)/x-1，则f(x)在(0,+∞)上的最小值为__________.

已知函数f(x)=cosαx-ln⁡(1-x²)，若x=0是f(x)的极大值点，求α的取值范围.

在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到a1,a2,…,an,共n个数据,我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量:与其他近似值比较,a与各数据的差的平方和最小.依此规定,从a1,a2,…,an推出的a=____________.

甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本速度(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.(Ⅰ)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(Ⅱ)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?

如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A孔流人,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问:当a，b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)?

已知函数f(x)=(x2+2x+a)/x,x∈[1,+∞).当a=1/2时，求函数f(x)的最小值.

设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎样确定画画的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈[2/3,3/4]，那么λ为何值时，能使宣传画所用的纸张面积最小？

设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点，则【】

设α=sin2k⁡(π/6) ，函数g:[0,1]→R定义为g(x)=2αx+2α(1-x).下列叙述正确的有【】

设(a-1)(b-1)>0,a,b,θ皆为实数，求(a+cosθ)(b+cosθ)/(1+cosθ)之极小值.

导数的应用

函数y=1+3x-x3有【】

函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为__________.

已知函数f(x)=ln⁡(1+x)+axe-x（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（2）若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．

已知函数f(x)=ex ln⁡( 1+x)．（1）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（2）设g(x)=f'(x)，讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性；（3）证明：对任意的s,t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t)．

切线与经过切点之弦所成之角可用其截弦之半量之,证：x=1/2 x'.

设微分方程xdy-(y2-4y)dx=0(x>0),y(1)=2的解为y(x)，函数y=y(x)的图像斜率恒不为0，则10y(√2)的值为________.

设x为正实数，则x/(8x³+5x+2)的最大值为【】

已知函数f(x)=a(ex+a)-x.（1）讨论f(x)的单调性；（2）证明：当a>0时，f(x)>2lna+3/2.

已知函数f(x)=ln⁡x/(2-x)+ax+b(x-1)³.(1)若b=0，且f'(x)≥0，求a的最小值；(2)证明：曲线f(x)为中心对称函数；(3)若f(x)>-2，当且仅当1<x<2，求b的取值范围.

已知函数 f(x) = aex−1 − ln x + ln a.(1) 当 a = e 时, 求曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2) 若 f(x) ⩾ 1, 求 a 的取值范围.

导数与微分

求y=cos2 的导数.

已知y=e-xsin2x，求微分dy.

如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧的长为2/3AP，直线PC与直线AO交于点M.又知当AP=3π/4时，点P的速度为v，求这时点M的速度.

将直线l1：nx+y-n=0 , l2：x+ny-n=0(n∈N*）， x轴，y轴围成的封闭区域的面积记为Sn，则Sn= ________.

求y=xarctanx2的导数.

求极限(1-1/2x)x.

设y=xln(1+x2)，求y'.

设β=，则6β的值为______.

函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【】。

设函数 f(x) = ex/(x+a). 若 f′(1) = e/4 , 则 a = ______.