高中数学-高考试题(上海市 2010年连续与极限)

填空题（2010年上海市）

将直线l₁：nx+y-n=0 , l₂：x+ny-n=0(n∈N*）， x轴，y轴围成的封闭区域的面积记为S_n，则S_n= ________.

答案解析

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讨论

高中数学

在n行n列矩阵中，记位于第i行第j列的数为 aij (i,j=1,2,...,n).当n=9时，a11+a22+a33+...a99=________.

从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A∪B)= ________(结果用简分数表示).

对任意不等于1的正数a，函数f(x)=loga⁡( x+3)的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标为______.

2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园.在下面的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入__________.

随机变量ξ的概率分布律由下表给出: 该随机变量ξ的均值是______.

行列式的值是______.

圆C：x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=04的距离d=_____.

若动点P到F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为___________.

若复数z=1-2i(i为虚数单位),则z·z ̅+z=_____.

不等式(2-x)/(x+4)>0的解集是__________.

连续与极限

设β=，则6β的值为______.

对于正整数n定义f(n)=n+(16+5n-3n²)/(4n+3n²)+(32+n-3n²)/(8n+3n²)+(48-3n-3n²)/(12n+3n²)+⋯+(25n-7n²)/(7n²)，则f(n)的值为【】

(n+1)/(3n+2)=________.

设α为正实数，函数f:R→R和g:(α,+∞)→R分别定义为f(x)=sin⁡(πx/12)和g(x)=2ln⁡(√x-√α)/ln⁡(e√x-e√α)，则f[g(x)]=__________.

已知f(x)为多项式函数，g(x)定义如下：g(x)=关于函数h(x)=g(x+t)×g(x+t)，下列说法正确的是【】甲：h(1)=3乙：h(x)在全体实数上连续丙：若g(x)在区间[-1,1]上单调递减，且g(-1)=-2，则h(x)在全体实数上有最小值.

试用ε﹣δ语言叙述“函数f(x)在点x=x0处连续”的定义.

若f(x)在点x=x0处连续，且f(x0)>0，则存在一个x0的(x0﹣δ，x0+δ)，在这个邻域内，处处有f(x)>0.

韩国连续与极限

求极限(1-1/2x)x.

对任意函数f(x),x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f(x0 )；②若x1∉D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1 )，并依此规律继续下去，现定义f(x)=(4x-2)/(x+1). （Ⅰ）若输入x0=49/65，则由数列发生器产生数列{xn }，请写出数列{xn }的所有项；（Ⅱ）若要数列发生器生产一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据x0的值.（Ⅲ）若输入x0时，产生的无穷数列{xn }满足：对任意正整数n，均有xn<xn+1，求x0的取值范围.

导数与微分

不大于log2⁡(x3+1)dx+(2x-1)1/3dx的最大整数是______.

函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【】。

设函数 f(x) = x3 + bx + c, 曲线 y = f(x) 在点 (1/2 , f(1/2))处的切线与 y 轴垂直.(1) 求 b;(2) 若 f(x) 有一个绝对值不大于 1 的零点, 证明: f(x) 的所有零点的绝对值都不大于 1.

已知函数 f(x)=x3+klnx (k ∈ R) , f′(x) 为 f(x) 的导函数.(I) 当 k = 6 时,(i) 求曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线方程;(ii) 求函数 g(x)=f(x)+f'(x)+9/x 的单调区间和极值;(II) 当 k ⩾ −3 时, 求证: 对任意的 x1, x2 ∈ [1, +∞), 且 x1 > x2, 有f'(x1+x2)/2 > (f(x1 )-f(x2))/(x1-x2 ) .

如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧的长为2/3AP，直线PC与直线AO交于点M.又知当AP=3π/4时，点P的速度为v，求这时点M的速度.

证明：当0<x<1时，x-x²<sinx<x.

若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________．

已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线．（1）若x1=-1，求a；（2）求a的取值范围．

已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-e⁡x2（a>0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是____________．

设函数f(x)=e/2x+ln⁡x (x>0)．（1）求f(x)的单调区间；（2）已知a,b∈R，曲线y=f(x)上不同的三点(x1,f(x1 )),(x2,f(x2 )),(x_3,f(x_3 ))处的切线都经过点(a,b)．证明：（ⅰ）若a>e，则0<b-f(a)<1/2 (a/e-1)；（ⅱ）若0<a<e,x1<x2<x_3，则2/e+(e-a)/(6e2 )<1/x1 +1/x_3 <2/a-(e-a)/(6e2 )．（注：e=2.71828⋯是自然对数的底数）