高中数学-高考试题(全国乙·理 2022年导数的应用)

填空题（2022年全国乙·理）

已知x=x₁和x=x₂分别是函数f(x)=2a^x-e⁡x²（a>0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x₁<x₂，则a的取值范围是____________．

答案解析

(0,1/e)对x求导有：f' (x)=2 ln⁡a⋅ax-2 e⁡x，因为x1,x2分别是函数f(x)=2ax-e⁡x2 的极小值点和极大值点，所以函数f(x)在(-∞,x1 )和(x2,+∞)上递减，在(x1,x2 )上递增，所以当x∈(-∞,x1 )∪(x2,+∞)时，f' (x)<0，当x∈(x1,x2)时，f' (x)>0，若a>1，当时，2 ln⁡a⋅ax>0,2 e⁡x<0，则此时f' (x)>0，与前面矛盾，故a>1不符合题意，若0<a<1，则方程2 ln⁡a⋅ax-2 e⁡x=0的两个根为x1,x2，即方程ln⁡a⋅ax=e⁡x的两个根为x1,x2，即函数y=ln⁡a⋅ax与函数y=e⁡x的图像有两个...

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讨论

高中数学

记函数f(x)=cos⁡(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)=√3/2，x=π/9为f(x)的零点，则ω的最小值为____________．

过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．

从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．

已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则f(k)【】

双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cos⁡∠F1NF2=3/5，则C的离心率为【】

某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜概率分别为p1,p2,p3，且p3>p2>p1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则【】

已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为【】

已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-a5=42，则a6=【】

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB,BC的中点，则【】

执行下面的流程图，输出的n=【】

导数的应用

已知函数f(x)=ln⁡x/(2-x)+ax+b(x-1)³.(1)若b=0，且f'(x)≥0，求a的最小值；(2)证明：曲线f(x)为中心对称函数；(3)若f(x)>-2，当且仅当1<x<2，求b的取值范围.

某地准备在山谷中建一座桥梁, 桥址位置的竖直截面图如图所示: 谷底 O 在水平线 MN 上, 桥 AB 与 MN平行, OO′为铅垂线 (O′在 AB 上), 经测量, 左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离 h1 (米) 与 D 到 OO′ 的距离 a (米) 之间满足关式 h1=1/40 a2 ; 右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离 h2 (米) 与 F 到 OO′的距离 b (米)之间满足关系式 h2=-1/800 b3+6b . 已知点 B 到 OO′的距离为 40 米.(1) 求桥 AB 的长度;(2) 计划在谷底两侧建造平行于 OO′的桥墩 CD 和 EF , CE 为 80 米, 其中 C, E 在 AB 上 (不包括端点), 桥墩 EF 每米造价 k (万元), 桥墩 CD 每米造价 3/2 k (万元) (k > 0), 问 O′E为多少米时, 桥墩 CD 与 EF 的总造价最低?

已知关于 x 的函数 y = f(x), y = g(x) 与 h(x) = kx + b (k, b ∈ R) 在区间 D 上恒有 f(x) ⩾ h(x) ⩾ g(x).(1) 若 f(x) = x2 + 2x, g(x) = −x2 + 2x, D = (−∞, +∞), 求 h(x) 的表达式;(2) 若 f(x) = x2 − x + 1, g(x) = k ln x, h(x) = kx − k, D = (0, +∞), 求 k 的取值范围;(3) 若 f(x) = x4−2x2, g(x) = 4x2−8, h(x) = 4(t3−t)x−3t4+2t2 (0 < |t| ⩽), D = [m, n] ⊂ [-, ].求证: n − m ⩽.

已知曲线y=x3-6x2+11x-6. 在它对应于x∈[0,2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值.

求过点(-1,0)并与曲线y=(x+1)/(x+2)相切的直线方程.

用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高多少时容器的面积容积最大？并求出它的最大容积。

函数y=1+3x-x3有【】

函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为__________.

设函数f(x)=a2x2+ax-3lnx+1，其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围.

设函数f(x)=ln⁡(a-x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.(1)求a；(2)设函数g(x)=(x+f(x))/(xf(x)).证明：g(x)<1.

导数与微分

若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln⁡(x+1)+a的切线，则a=______.

函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【】。

设函数 f(x) = ex/(x+a). 若 f′(1) = e/4 , 则 a = ______.

设函数 f(x) = x3 + bx + c, 曲线 y = f(x) 在点 (1/2 , f(1/2))处的切线与 y 轴垂直.(1) 求 b;(2) 若 f(x) 有一个绝对值不大于 1 的零点, 证明: f(x) 的所有零点的绝对值都不大于 1.

已知函数 f(x)=x3+klnx (k ∈ R) , f′(x) 为 f(x) 的导函数.(I) 当 k = 6 时,(i) 求曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线方程;(ii) 求函数 g(x)=f(x)+f'(x)+9/x 的单调区间和极值;(II) 当 k ⩾ −3 时, 求证: 对任意的 x1, x2 ∈ [1, +∞), 且 x1 > x2, 有f'(x1+x2)/2 > (f(x1 )-f(x2))/(x1-x2 ) .

(n+1)/(3n+2)=________.

求y=cos2 的导数.

如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧的长为2/3AP，直线PC与直线AO交于点M.又知当AP=3π/4时，点P的速度为v，求这时点M的速度.

将直线l1：nx+y-n=0 , l2：x+ny-n=0(n∈N*）， x轴，y轴围成的封闭区域的面积记为Sn，则Sn= ________.

求y=xarctanx2的导数.