高中数学-高考试题(全国统考 1986年导数的应用)

问答题（1986年全国统考）

求过点(-1,0)并与曲线y=(x+1)/(x+2)相切的直线方程.

答案解析

y'=1/(x+2)² ,

而点(-1,0)在曲线y=(x+1)/(x+2)上，y'|_x=-1 =1,

所以所求的切线方程为y=x+1.

讨论

高中数学

求y=xarctanx2的导数.

已知x1>0,x≠1,且xn+1=,(n=1,2,⋯).试证：数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn<xn+1，或者对任意自然数n都满足xn>xn+1.

过点M(-1,0)的直线l1与抛物线y2=4x交于P1,P2两点.记：线段P1P2的中点这P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l2；l1的斜率为k.试把直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.

已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：(Ⅰ) C ⊂ A∪B，且C中含有3个元素；(Ⅱ) C∩A≠∅(∅表示空集).

如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A，B.试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值.

当sin2x>0时，求不等式log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)的解集.

如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点.求证：平面PAC垂直于平面PBC.

已知sinθ-cosθ=1/2，求sin3θ - cos3θ的值.

求(2x3-1/x2 )5展开式中的常数项.

全国统考数列极限

导数的应用

写出曲线y=ln⁡|x|过坐标原点的切线方程：____________，____________．

已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线．（1）若x1=-1，求a；（2）求a的取值范围．

已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-e⁡x2（a>0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是____________．

已知函数f(x)=ln⁡(1+x)+axe-x（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（2）若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．

已知函数f(x)=ax-1/x-(a+1)ln⁡x．（1）当a=0时，求f(x)的最大值；（2）若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．

已知函数f(x)=ex ln⁡( 1+x)．（1）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（2）设g(x)=f'(x)，讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性；（3）证明：对任意的s,t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t)．

设函数f(x)=e/2x+ln⁡x (x>0)．（1）求f(x)的单调区间；（2）已知a,b∈R，曲线y=f(x)上不同的三点(x1,f(x1 )),(x2,f(x2 )),(x_3,f(x_3 ))处的切线都经过点(a,b)．证明：（ⅰ）若a>e，则0<b-f(a)<1/2 (a/e-1)；（ⅱ）若0<a<e,x1<x2<x_3，则2/e+(e-a)/(6e2 )<1/x1 +1/x_3 <2/a-(e-a)/(6e2 )．（注：e=2.71828⋯是自然对数的底数）

设f(x)=ex-asinx,g(x)=b√x.(1)求函数y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程；(2)若y=f(x)与y=g(x)有公共点，ⅰ)当a=0时，求b的取值范围；ⅱ)求证：a2+b2>e.

过点(0,4)作曲线y=x3-x+2的切线，这条切线在x轴上的截距为【】

求使方程2x3-6x2+k=0恰有2个互异实数解的整数k共有多少个.

导数与微分

函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【】。

设函数 f(x) = x3 + bx + c, 曲线 y = f(x) 在点 (1/2 , f(1/2))处的切线与 y 轴垂直.(1) 求 b;(2) 若 f(x) 有一个绝对值不大于 1 的零点, 证明: f(x) 的所有零点的绝对值都不大于 1.

已知函数 f(x)=x3+klnx (k ∈ R) , f′(x) 为 f(x) 的导函数.(I) 当 k = 6 时,(i) 求曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线方程;(ii) 求函数 g(x)=f(x)+f'(x)+9/x 的单调区间和极值;(II) 当 k ⩾ −3 时, 求证: 对任意的 x1, x2 ∈ [1, +∞), 且 x1 > x2, 有f'(x1+x2)/2 > (f(x1 )-f(x2))/(x1-x2 ) .

设β=，则6β的值为______.

设函数 f(x) = ex/(x+a). 若 f′(1) = e/4 , 则 a = ______.

不大于log2⁡(x3+1)dx+(2x-1)1/3dx的最大整数是______.

(n+1)/(3n+2)=________.

将直线l1：nx+y-n=0 , l2：x+ny-n=0(n∈N*）， x轴，y轴围成的封闭区域的面积记为Sn，则Sn= ________.

当x=1时，函数f(x)=a ln⁡x+b/x取得最大值-2，则f'(2)=【】

点P在直线上运动，t(t≥0)时刻的速度v(t)和加速度a(t)满足以下条件：(1)当0≤t≤2时，v(t)=2t3-8t.(2)当t≥2时，a(t)=6t+4.求点P从t=0到t=3时刻移动的距离.