高中数学-高考试题(上海市 2010年复数的运算)

填空题（2010年上海市）

若复数z=1-2i(i为虚数单位),则z·z ̅+z=_____.

答案解析

6-2i

讨论

高中数学

不等式(2-x)/(x+4)>0的解集是__________.

求方程2sin(x+π/6)=1的解集.

用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有【】个。

极坐标方程ρ=asinθ(a>0)的图像是【】

下面给出的函数中，哪一个函数既是区间(0,π/2)上的增函数，又是以π为周期的偶函数【】

tanx=1是x=5π/4的【】

如果正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，则A′-ABD的体积是【】

如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧的长为2/3AP，直线PC与直线AO交于点M.又知当AP=3π/4时，点P的速度为v，求这时点M的速度.

设a>2，给定数列{xn},其中x1 = a,xn+1=(xn2)/(2(xn-1)) (n=1,2,…),求证：(1) xn>2,且xn+1/xn < 1(n=1,2,…);(2) 如果a≤3,那么xn ≤ 2+1/2n-1 (n=1,2,…);(3) 如果a>3,那么当n ≥ (lga/3)/(lg4/3)时，必有xn+1<3.

在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且c=10, cosA/cosB=b/a=4/3, P为△ABC的内切圆上的动点.求点P到顶点A,B,C的距离的平方和的最大值与最小值.

复数的运算

已知z=(1-i)/(2+2i)，则z-z ̅=【】

已知复数列{zn}满足：z1=√3/2,zn+1=zn ̅(1+zni)(n=1,2,⋯)其中i为虚单位.求z2021的值.

若 z = 1 +i，则|z2 −2z| =【】

若 z = 1 + 2i+i3, 则|z| =【】

(2-i)/(1+2i) =【】

i 是虚数单位, 复数 (8-i)/(2+i) = ________.

已知复数z=/2 - 1/2 i,ω=/2+/2 i.复数,z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P,Q.证明△OPQ是在等腰直角三角形（其中O为原点）.

在复平面内，把复数3-i对应的向量按顺序时针方向旋转π/3，所得向量对应的复数是【】

已知z=2-i，则z(z ̅+i)=【】

已知(1-i)2z=3+2i，则z=【】

数系与复数

在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,√3)，则z的共轭复数z ̅=【】

已知a,b为正整数，a<b，且a,b互质.若关于x,y的不等式ax+by≤ab有且仅有2023组正整数解，则(a,b)=____________________(求出满足题意的所有可能数组).

Consider an odd prime p and a positive integer N<50p. Let a1,a2,⋯,aN be a list of positive integers less than p such that any specific value occurs at most 51/100 N times and a1,a2,⋯,aN is not divisible by p. Prove that there exists a permutation b1,b2,⋯,bN of the a_i such that, for all k=1,2,⋯,N, the sum b1+b2+⋯+bk is not divisible by p.【译】已知奇素数p和正整数N<50p.设a1,a2,⋯,aN是一些小于p的正整数，同一数值至多出现51/100 N次，且a1+a2+⋯+aN不能被p整除.证明：存在a_i的一个排列：b1,b2,⋯,bN，使得对任意的k=1,2,⋯,N，都有b1+b2+⋯+bk不能被p整除.

Fix integers a and b greater than 1. For any positive integer n, let rn be the (non-negative) remainder that bn leaves upon division by an. Assume there exists a positive integer N such that rn<2n/n for all integers n≥N.Prove that a divides b.给定大于1的整数a和b.对任意的正整数n，记rn为bn除以an的非负余数.若存在正整数N，使得对任意的n≥N，都有rn<2n/n.证明：a整除b.

设iz=4+3i，则z=【】

在复平面内，复数z满足(1-i)·z=2，则z=【】

设i是虚数单位，复数(9+2i)/(2+i)=__________.

已知a∈R,(1+ai)i=3+i，(i为虚单位)，则a=【】

若i(i-z)=1，则z ̅+z=【】

(2+2i)(1-2i)=【】