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问答题（2001年上海市）

对任意函数f(x),x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f(x0 )；②若x1∉D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1 )，并依此规律继续下去，现定义f(x)=(4x-2)/(x+1).

 

（Ⅰ）若输入x0=49/65，则由数列发生器产生数列{xn }，请写出数列{xn }的所有项；

（Ⅱ）若要数列发生器生产一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据x0的值.

（Ⅲ）若输入x0时，产生的无穷数列{xn }满足：对任意正整数n，均有xn<xn+1，求x0的取值范围.

答案解析

（Ⅰ）∵f(x)的定义域D=(-∞,-1)∪(-1,+∞)，∴数列{xn }，只有三项：x1=11/19,x2=1/5,x3=-1，（Ⅱ）∵f(x)=(4x-2)/(x+1)=x，即x^2-3x+2=0,∴x=1或x=2.即当x0=1或2时，xn+1=(4xn-2)/(xn+1)=xn，故当x0=1时，xn=1当x0=2时，xn=2(n∈N).（Ⅲ）解不等式x<(4x-2)/(x+1)，得x&l...

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讨论

映射与函数

函数y=中，x的取值范围是__________.

函数y=中，x的取值范围是__________.

设函数f(x)的定义域是[0,1]，求函数f(x2)的定义域.

设N*表示正整数集，求所有的函数f:N* → N*，使得对任意正整数x,y，均有f(f(x)+y)整除x+f(y).

函数y=/(x+2)的定义域是____________.

设函数f(x)=x2 + x + 1/2的定义域是[n,n+1]( n是自然数)，那么f(x)的值域中共有______个整数.

某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养殖提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克.根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系:P=1000(x+t-8)(x≥9,t≥0),Q=500(8≤x≤14).当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格.(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元?

已知映射f:A→B，其中，集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元函数是|a|则集合B中元素的个数是【 】

已知函数y=f(x)的图像是自原点出发的一条折线.当n≤y≤n+1(n=0,1,2⋯)时，该图像是斜率为bn的线段（其中正常数b≠1），设数列{xn }由f(xn)=n(n=1,2⋯)定义.（Ⅰ）求x1,x2和xn的表达式；（Ⅱ）求f(x)的表达式，并写出其定义域；（Ⅲ）证明：y=f(x)的图像与y=x的图像没有横坐标大于1的交点.

设集合A和B都是自然数集合N，映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象是【 】

程序框图

如图是一个算法流程图, 若输出 y 的值为 −2, 则输入 x 的值是______.

执行如图的程序框图, 若输入 k = 0, a = 0, 则输出的 k 为【 】

2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园.在下面的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入__________.

执行如图的程序框图，则输出的 n =【 】

执行下面的流程图，输出的n=【 】

2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园.在下面的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入__________.

圆的半径是1，圆心极坐标是(1,0)，则这个圆的极坐标方程是【 】

在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A,B两点,则|AB|=________.

圆锥曲线的焦点坐标是________.

直线y=2x-1/2与曲线（φ为参数）的交点坐标是________.

数列与推理

求证：1³+2³+⋯+n³=1/4 n²(n+1)².

已知数列{an}满足：a1=1，a2=4,且an2 - an-1an+1=2n-1(n≥2,n∈N*)，求a2020的个位数.

数列 {an} 满足 an+2 + (−1)nan = 3n − 1, 前 16 项和为 540, 则 a1 = ______.

数列 {an} 中, a1 = 2, am+n = aman , 若 ak+1 + ak+2 + · · · + ak+10 = 215 − 25, 则 k=【 】

0−1 周期序列在通信技术中有着重要应用. 序列 a1a2 · · · an · · · 满足 a1 ∈ {0, 1} (i = 1, 2, · · · ), 且存在正整 数 m, 使得 ai+m = ai (i = 1, 2, · · · ) 成立, 则称其为 0−1 周期数列, 并称满足 ai+m = ai (i = 1, 2, · · · ) 的最小正整数 m 为这个序列的周期. 对于周期为 m 的 0−1 序列 a1a2 · · · an · · · , C(k) =(k = 1, 2, · · · , m−1)是描述其性质的重要指标. 下列周期为 5 的 0 − 1 序列中, 满足 C(k) ⩽ 1/5(k = 1, 2, 3, 4) 的序列是【 】

如图, 将钢琴上的 12 个键依次记为 a1, a2, · · · , a12, 设 1 ⩽ i ⩽ j ⩽ k ⩽ 12. 若 k − j = 3 且 j − i = 4, 则称 ai, aj, ak 为原位大三和弦; 若 k − j = 4 且 j − i = 3, 则称 ai, aj, ak 为原位小三和弦. 用这 12 个键可以构成的原 位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为【 】

设数列 {an} 满足 a1 = 3, an+1 = 3an − 4n.(1) 计算 a2, a3, 猜想 {an} 的通项公式并加以证明;(2) 求数列 {2nan} 的前 n 项和 Sn.

信息熵是信息论中的一个重要概念. 设随机变量 X 所有可能的取值为 1, 2, … , n, 且 P (X = i) = pi >0 (i = 1, 2, …, n), =1, 定义 X 的信息熵 H(X) = −log2 pi.【 】

将数列 {2n − 1} 与 {3n − 2} 的公共项从小到大排列得到数列 {an}, 则 {an} 的前 n 项和为 __________.

已知 {an} 为等差数列, {bn} 为等比数列, a1 = b1 = 1, a5 = 5(a4 − a3), b5 = 4(b4 − b3).(I) 求 {an} 和 {bn} 的通项公式;(II) 记 {an} 的前 n 项和为 Sn, 求证: SnSn+2 < Sn+12 (n ∈ N∗);(III) 对任意的正整数 n, 设 cn = .求数列 {cn} 的前 2n 项和.