高中数学-竞赛试题(中国数学奥林匹克 2020年11月映射与函数)

问答题（2020年11月中国数学奥林匹克）

设N*表示正整数集，求所有的函数f:N* → N*，使得对任意正整数x,y，均有f(f(x)+y)整除x+f(y).

答案解析

记f(f(x)+y)|f(x+f(y))为(*)式.① 若∃a≠b,f(a)=f(b)，在(*)中取x=ab，有f(f(a)+y)|a-b 即 ∀x>f(a)有f(x)|(a-b),所以f(x)值域有限,设f(x)|N恒成立.设f(x)在x≥2处的值域为{a1<a2<a3<⋯<at}对充分大的y，存在x≥2,x∈N+，使(x+f(y),N)=1，代入(*)式有f(y+f(x))=1.即对每个y∈N+,y+a1,y+a2,…,y+ai之一记为y+b_y满足f(y+b_y )=1.对极大的M,考查1+b1,2+b2,…,(M-at )+b_(m-at ),在1~M中至少有f(x)=1的1+(M-at)/t个解，且必有两解差≤t，设为f(c)=f(d)=1.在(*)中取x...

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讨论

高中数学

设P是一个凸多面体，满足以下两个性质：(i) P的每一个顶点恰属于 3 个不同的面；(ii) 对任意 k ≥3， P 中 k 边形面都恰有偶数个。有一只蚂蚁从某条棱的中点出发，沿棱爬行，走一条闭合路径 L ，经过 L 上每一点恰好一次，最终回到出发点。 L 将 P 的表面分为两部分，使得对任意的 k ≥3，两部分中 k 边形面的个数相等。求证：蚂蚁在爬行中向左转和向右转的次数相等。

锐角△ABC中，AB>AC，M为其外接圆⊙O的劣弧BC的中点，K为A的对径点，过O作OD∥AM交AB于D，交CA的延长线于E，直线BM交直线CK于P，直线CM交直线BK于Q. 求证：∠OPB+∠OEB=∠OQC+∠ODC.

已知正整数n,恰有36个不同的质数整除n，对k=1,2,3,4,5，记[(k-1)n/5,kn/5]中互质的整数个数为Cn，已知C1,C2,C3,C4,C5不完全相同.求证：(Ci - Cj)2 ≥236.

给定正整数m>1，求正整数n的最小值，使得对任意正整数a1,a2,…,an，b1,b2,…,bn，存在整数x1,x2,…,xn，满足以下两个条件：(1) ∃i∈{1,2,…,n}使得xi与m互质；(2) aixi = bixi ≡ 0(mod m).

设{zn } (n≥1)是复数数列，奇数项为实数，偶数项为纯虚数，且∀k∈N+,|zkzk+1| = 2k，记fn=|z1 + z2 + ⋯ + zn |.(1) 求f2020的最小可能值；(2) 求f2020∙f2021的最小可能值.

设f(x)=lg (1+2x+⋯+(n-1)x+nx a)/n,其中a是实数，n是任意给定的自然数且n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围；(Ⅱ)如果a∈(0,1]，证明：2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.

设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=/2，已知点P(0,3/2)到这个椭圆上的点的最远距离是.求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.

设a≥0，在复数集C中解方程z2+2|z|=a.

如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC，且分别交AC,SC于D,E.又SA=AB,SB=BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.

已知sinα+sinβ=1/4,cosα+cosβ=1/3,求tan⁡(α+β)的值.

映射与函数

若xi为大于1的整数，记f(xi)为xi的最大素因数.令xi+1=xi-f(xi)（i为自然数）.(1)证明：对任意大于1的整数x0，存在自然数k(x0)，使得xk(x0)+1=0;(2)令V(x0)为f(x0 ),f(x1 ),⋯,f(xk(x0))中不同的个数，求V(2),V(3),⋯,V(781)中的最大数，并说明理由.

有甲、乙两人，甲所有银为乙之五倍，其后甲得30元，乙得80元，则甲所有为乙之二倍，问甲、乙原各有银几何?

由甲地至乙地，若每时行 32 丈，则比预定时间迟2小时可到，若每小时行 56 丈，则比预定时间早1小时可到，问依预定时间每时应行之速?

北京工业大学映射与函数

农夫四名，每日工作14小时，5日间可耕田15亩，问用农夫七名，每日工作 13小时，几日可耕田39/2亩?

我国邮政贮金，规定常年4厘2毫.于六月、十二月底结算，可以利息加入本金，但不满一元者不计，今有人以500元于六月底存入，由七月一号起算利息，问三年后可得本利共若干元?

求由1至于某数间之素数之法，并举例以说明之.

A motion picture film 120 feet long contains a certain number of individual pictures.If each picture were 0.1 of an inch shorter, the same film would contain 720 more pictures, how long is each picture?

一坐自行车者以平均速度行过 180 哩，设彼每小时迟行三哩，则行此路程须多加三小时，问其速度若何?

函数f,g:R⟶R定义为f(x)=x²+5/12,g(x)=,区域{(x,y)∈R×R||x|≤3/4,0≤y≤min⁡[f(x),g(x)]}的面积为α，则9α的值为________.

函数

二数之和为 36，其大数之二倍较小数之三倍多 2，试问各数为何.

某甲作工若干日，共得工洋 36 圆.如其每日多挣二角，则虽少作二日，亦可得相等之工资.问其每日工价若干，又问其作若干日.

北京师范大学解方程

今有连续二数，其和之平方数较平方之和多 220，问二数为何?

x²+3x+9 =0之两根为______.

南京大学解方程

油价上涨5%后，加一箱油比原来多花 20 元，一个月后油价下降了 4%，则加一箱油需要花【】元

已知甲、乙两公司的利润之比为 3:4，甲、丙两公司的利润之比为 1:2.若乙公司的利润为 3000 万元，则丙公司的利润为【】万元

甲乙两人从同一地点出发，甲先出发 10 分钟，若乙跑步追赶甲，则 10 分钟追上，若骑车追赶甲，每分钟比跑步多行 100 米，则 5 分钟追上，那么甲每分钟走的距离为【】米.

方程x²-3|x-2|-4=0的所有实根之和为【】