证明题(2020年11月中国数学奥林匹克

锐角△ABC中,AB>AC,M为其外接圆⊙O的劣弧BC的中点,K为A的对径点,过O作OD∥AM交AB于D,交CA的延长线于E,直线BM交直线CK于P,直线CM交直线BK于Q. 

求证:∠OPB+∠OEB=∠OQC+∠ODC.

答案解析

连接OA,OB,OC,OK,有∠1=∠2=∠3=∠4,∠5=90°-∠C=∠6,∴ △DOB∽△BPC∴ BC/BD=CP/BO=CP/CO又∠PCO=90°-∠ACO=∠CBD故△PCO∽△CBD,...

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讨论

已知正整数n,恰有36个不同的质数整除n,对k=1,2,3,4,5,记[(k-1)n/5,kn/5]中互质的整数个数为Cn,已知C1,C2,C3,C4,C5不完全相同.求证:(Ci - Cj)2 ≥236.

给定正整数m>1,求正整数n的最小值,使得对任意正整数a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn,存在整数x1,x2,…,xn,满足以下两个条件:(1) ∃i∈{1,2,…,n}使得xi与m互质;(2) aixi = bixi ≡ 0(mod m).

设{zn } (n≥1)是复数数列,奇数项为实数,偶数项为纯虚数,且∀k∈N+,|zkzk+1| = 2k,记fn=|z1 + z2 + ⋯ + zn |.(1) 求f2020的最小可能值;(2) 求f2020∙f2021的最小可能值.

设f(x)=lg (1+2x+⋯+(n-1)x+nx a)/n,其中a是实数,n是任意给定的自然数且n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围;(Ⅱ)如果a∈(0,1],证明:2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.

设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=/2,已知点P(0,3/2)到这个椭圆上的点的最远距离是.求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.

设a≥0,在复数集C中解方程z2+2|z|=a.

如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于D,E.又SA=AB,SB=BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.

已知sinα+sinβ=1/4,cosα+cosβ=1/3,求tan⁡(α+β)的值.

有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.

如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1,V2的两部分,那么V1:V2=__________.

在锐角三角形ABC中,AB<AC.设Ω为三角形ABC的外接圆.点S是Ω上包含点A的弧BC的中点.过点A作垂直于BC的直线与BS交于点D,与圆Ω交于另一点E,E≠A.过点D且平行于BC 的直线与直线BE交于点L.记ω为三角形BDL的外接圆.设ω与Ω交于另一点P,P≠B.证明:ω在点P处的切线与直线BS的交点在∠BAC的内角平分线上.

Consider the convex quadrilateral ABCD. The point P is in the interior of ABCD. The following ratio equalities hod:∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.Prove that the following three lines meet in a point : the internal bisectors of angles ∠ADP and ∠PCB and the perpendicular bisector of segment AB.设P是凸四边形ABCD内部一点,且满足:∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.证明:∠ADP的内角平分线、∠PCB的内角平分线和线段AB的中垂线,三线共点。 (波兰供题)

已知△ABC三内角的大小成等差数列,tanAtanC=2+,求角A,B,C的大小;又知顶点C的对边c上的高等于4,求三角形各边a,b,c的长.(提示:必要时可验证(1+)2=4+2)

叙述并证明勾股定理.

直角三角形之斜边上所画之正三角形之面积,等于其余两边上所画之正三角形之面积之和.

试言已知三角形之两角及一角之对边,求作其形之方法.

如图,在三角形ABC中∠BAC=60°,BD平分∠ABC,交AC于D,CE平分∠ACB交AB于E,BD和CE交于F,则∠EFB=【 】

设 AD 为 ∠ABC 之中线;∠ADB 之平分线交 AB 于E,∠ADC 之平分线交AC 于F,试证 EF// BC.

若三角形的两边不等,它的对不等边的两角也必不等,并且大角必对大边.

△ABC 之边 AC 之三等分点之中,设近于 A 之点为 D,而 BC 之中点为 E时,则 AE 为 BD 所二等分.

如图,△ABC为给定的锐角三角形,其内切圆ω分别与边AB,AC切于点K,L.高AH分别与∠ABC,∠ACB的平分线交于点P,Q.设ω1,ω2分别为△KPB,△LQC的外接圆,AH的中点ω1,ω2外,求证:从AH的中点引向ω1,ω2的切线相等.

如图所示,在△BC中,M是边AC的中点,D,E是△ABC的外接圆在点A处的切线上的两点,满足MD//AB,且A是线段DE的中点,过A,B,E三点的圆与边AC相交于另一点P,过A,D,P三点的圆与DM的延长线相交于点Q.证明:∠BCQ=∠BAC.

Let ABC be an acute-angled triangle with AB > AC. Let P be the intersection of the tangents to the circumcircle of ABC at B and C. The line through the midpoints of line segments PB and PC meets lines AB and AC at X and Y respectively.Prove that the quadrilateral AXPY is cyclic.【译】在锐角三角形ABC中,AB>AC,△ABC的外接圆在点B和点C处的切线交于点P.一条同时过PB和PC中点的直线与AB,AC分别交于点X,Y.求证:A,X,P,Y四点共圆.

Let BC be a fixed segment in the plane, and let A be a variable point in the plane not on the line BC. Distinct points X and Y are chosen on the rays (CA) ⃗ and (BA) ⃗, respectively, such that ∠CBX=∠YCB=∠BAC.Assume that the tangents to the circumcircle of ABC at B and C meet line XY at P and Q, respectively, such that the points X,P,Y, and Q are pairwise distinct and lie on the same side of BC. Let Ω1 be the circle through X and Y centred on BC. Similarly let Ω2 be the circle through Y and Q centred on BC. Prove that Ω1 and Ω2 intersect at two fixed points as A varies.【译】在同一平面内,BC为给定线段,动点A不在直线BC上. X和Y分别为射线(CA) ⃗,射线(BA) ⃗上不重合的两点,满足∠CBX=∠YCB=∠BAC.若三角形ABC外接圆在点B和C处的切线分别交直线XY于点P和点Q,点X,P,Y,Q不重合,且位于直线BC同侧.圆Ω1经过点X,P且圆心在BC上.类地,圆Ω2经过点Y,Q且圆心在BC上.证明:当点A运动时,圆Ω1和圆Ω2始终交于两定点.

已知直线 y = kx + b (k > 0) 与圆 x2 + y2 = 1 和圆 (x − 4)2 + y2 = 1 均相切, 则 k = _______, b = _______.

如图,AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AM⊥MN于M点,BN⊥MN于N点,CD⊥AB于D点 . 求证:(1) CD=CM=CN;(2) CD2=AM•BN.

设 CEDF 是一个已知圆的内接矩形,过 D 作该圆的切线与 CE 的延长线相交于点 A ,与 CF 的延长线相交于点 B . 求证:BF/AE=BC3/AC3 .

半径为 1 , 2 , 3 的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.

任意之外切四边形,相对两边之和等于其他相对两边之和,试证明之.

内接于圆之平行四边形为矩形,其对角线通过圆心,试证明之.