高中数学-竞赛试题(中国数学奥林匹克 2020年11月复数的运算)

问答题（2020年11月中国数学奥林匹克）

设{z_n } (n≥1)是复数数列，奇数项为实数，偶数项为纯虚数，且∀k∈N₊,|z_kz_k+1| = 2^k，记f_n=|z₁+ z₂ + ⋯ + z_n |.

(1) 求f₂₀₂₀的最小可能值；

(2) 求f₂₀₂₀∙f₂₀₂₁的最小可能值.

答案解析

(1) 设z1=a>0，则f2020=|a±i±2a±i±⋯±21009 a±i|=|(a±2a±22 a±⋯±21009 a)±(±±⋯±)i| ≥|a+ i|==2.(2) 设f2020=|ka+...

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讨论

高中数学

设f(x)=lg (1+2x+⋯+(n-1)x+nx a)/n,其中a是实数，n是任意给定的自然数且n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围；(Ⅱ)如果a∈(0,1]，证明：2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.

设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=/2，已知点P(0,3/2)到这个椭圆上的点的最远距离是.求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.

设a≥0，在复数集C中解方程z2+2|z|=a.

如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC，且分别交AC,SC于D,E.又SA=AB,SB=BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.

已知sinα+sinβ=1/4,cosα+cosβ=1/3,求tan⁡(α+β)的值.

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，若E,F分别为AB,AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1,V2的两部分，那么V1:V2=__________.

函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是______.

已知{an}是公差不为零的等差数列，如果Sn是{an}的前n项和，那么⁡(nan)/Sn )等于______.

(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中，x2的系数等于______.

复数的运算

设复数z满足关系式z+|z ̅|=2+i，那么z等于【】

设复数z=3cosθ+i∙sinθ.求函数y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.

设i是虚数单位，复数(9+2i)/(2+i)=__________.

已知a∈R,(1+ai)i=3+i，(i为虚单位)，则a=【】

若i(i-z)=1，则z ̅+z=【】

(2+2i)(1-2i)=【】

若z=-1+√3 i，则z/(zz ̄-1)=【】

若z=1+i．则|iz+3z ̄|=【】

已知z=1-2i，且z+az ̄+b=0，其中a，b为实数，则【】

若复数z满足i⋅z=3-4i，则|z|=【】

数系与复数

求复数-i的模和辐角的主值.

把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转2π/3，所得到的向量对应的复数是【】

复数z=-3(cos π/5 - isin π/5)( i是虚数单位)的三角形式是【】

已知复数z=+i，则arg 1/z是【】

求下列等式里x和y之值：(3xi+2x)+(yi-4)=(2y+5i)-(3+xi).

已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则【】

已知z=1+i（其中i为虚单位），则2z ̅=________.

已知复数z的辐角为60°，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项求|z|.

一个分数的分子与分母之和为 38，其分子和分母都减去15，约分后得到1/3，则这个分数的分母与分子之差为【】

设复数 z1, z2 满足 |z1| = |z2| = 2, z1 + z2 = + i , 则 |z1 − z2| =______.