高中数学-高考试题(武汉大学 1949年数列与推理)

问答题（1949年武汉大学）

等差级数，等比级数以及调和级数各项的倒数各成什么级数?

答案解析

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讨论

高中数学

下面两个算式哪一个对？√(-4)∙√(-9)=2i∙3i=6i²=-6√(-4)∙√(-9)==√36=6

若 a² = ab,则a=b 对不对? 为什么?

二圆相交时，它们中心距离与它们半径的和有何关系?

当△ABC 中A为钟角时，余弦定律为 a² =b² +c² +2bccosA.

(sinθ +icosθ)n = sinnθ +icosnθ.

logba·logab = 1.

两圆面积比等于它们的半径比.

△ABC 和△A'B'C'中，∠A >∠A’,则 BC >B'C'.

已知三角形三边之长为 14 尺，16 尺，18 尺，求其三中线长.

求2+22+23+⋯+2n之和，并利用之以证1+3×2+5×22+⋯+(2n-1)∙2n-1=3-2n+(n-1) 2n+1.

数列

设数列{an}是公比q>0的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn=7，则此数列的首项a1的取值范围是________.

记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S2=4,S4=6，则S6=【】

已知{an}为无穷等比数列，a1=3,an的各项和为9，bn=a2n，则数列{bn}的各项和为__________.

已知a,a∈R,ab>0，函数f(x)=ax2+bx(x∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)成等比数列，则平面上点(s,t)的轨迹是【】

已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-a5=42，则a6=【】

Find the general term and the sum ofn terms of the series -3,-1,11,39,89,167.

Find the sum of the geometical series -2,,-1/3 to 6 terms.

求证 1³+2³+3³+⋯+n³=[n(n+1)/2]²

设a1,a2,a3,⋯,an成调和级数，试证：a1 a2+a2 a3+a3 a4+⋯+an-1 an=(n-1) a1 an

证明：(+1)(+1)⋯(+1)=(-1)/(x-1)

数列与推理

已知数列{an}满足an+1=1/4 (an-6)³+6(n=1,2,3,⋯)，则【】

已知数列{an}满足：a1=1，a2=4,且an2 - an-1an+1=2n-1(n≥2,n∈N*)，求a2020的个位数.

数列 {an} 满足 an+2 + (−1)nan = 3n − 1, 前 16 项和为 540, 则 a1 = ______.

数列 {an} 中, a1 = 2, am+n = aman , 若 ak+1 + ak+2 + · · · + ak+10 = 215 − 25, 则 k=【】

0−1 周期序列在通信技术中有着重要应用. 序列 a1a2 · · · an · · · 满足 a1 ∈ {0, 1} (i = 1, 2, · · · ), 且存在正整数 m, 使得 ai+m = ai (i = 1, 2, · · · ) 成立, 则称其为 0−1 周期数列, 并称满足 ai+m = ai (i = 1, 2, · · · ) 的最小正整数 m 为这个序列的周期. 对于周期为 m 的 0−1 序列 a1a2 · · · an · · · , C(k) =(k = 1, 2, · · · , m−1)是描述其性质的重要指标. 下列周期为 5 的 0 − 1 序列中, 满足 C(k) ⩽ 1/5(k = 1, 2, 3, 4) 的序列是【】

如图, 将钢琴上的 12 个键依次记为 a1, a2, · · · , a12, 设 1 ⩽ i ⩽ j ⩽ k ⩽ 12. 若 k − j = 3 且 j − i = 4, 则称 ai, aj, ak 为原位大三和弦; 若 k − j = 4 且 j − i = 3, 则称 ai, aj, ak 为原位小三和弦. 用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为【】

设数列 {an} 满足 a1 = 3, an+1 = 3an − 4n.(1) 计算 a2, a3, 猜想 {an} 的通项公式并加以证明;(2) 求数列 {2nan} 的前 n 项和 Sn.

信息熵是信息论中的一个重要概念. 设随机变量 X 所有可能的取值为 1, 2, … , n, 且 P (X = i) = pi >0 (i = 1, 2, …, n), =1, 定义 X 的信息熵 H(X) = −log2 pi.【】

已知x1>0,x≠1,且xn+1=,(n=1,2,⋯).试证：数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn<xn+1，或者对任意自然数n都满足xn>xn+1.

设数列a1,a2,…,an,…的前n 项的和Sn与an的关系是Sn=-ban+1-1/(1+b)n ，其中b是与n无关的常数，且b≠1.(1) 求an与an-1的关系；(2) 写出用n和b表示an的表达式；(3) 当0<b<1时，求极限Sn .