高中数学-高考试题(中国大学 1941年数列与推理)

证明题（1941年中国大学）

求证 1³+2³+3³+⋯+n³=[n(n+1)/2]²

答案解析

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讨论

高中数学

解方程式3/x+6/(x-1)=(x+13)/(x(x-1))

某学生带银去买书籍等物; 要用所有银的1/4买字典，1/5买地理，1/6买文具，这样算，付价之后，还可以剩银23/10元; 问他带去银是多少?

某校招考学生，投考的有 540 人，考取 15%，是多少人?

设P点在椭圆所引之二切线与其长轴之夹角为θ1,θ2，试就下列情形分别求P之轨迹.(1).tanθ1+tanθ2 为一定值.(2).cotθ1+cotθ2 为一定值.

试证=(sin⁡(c-a)sin⁡(a-b))/sin⁡(b+c) · [-2 sin⁡(b+c) sin⁡(b-c) ]=-2sin⁡(b-c)sin⁡(c-a)sin⁡(a-b)

二次方程式 x² +px +q = 0 有二相异实根时，若 k 为不等于 0 之常数，则方程式 x² +px + g + k(2x + p) = 0 亦有二实根且仅有一根在前二根之间，试证之.

解方程式 arctan2x + arctan4x = arctan3x

设 A+B + C =180°，试证 sin2A +sin2B +sin2C = 4sinAsinBsinC.

方程式 x³ - 9x² + 23x - 15 =0之诸根成为等差级数，试求之.

设a:b = x:y，试证 (a³ + 2b³) : ab² = (z³ +2y³) : xy².

数列

已知数列{bn }是等列数差，b1=1,b1+b2+⋯+b10=145.(Ⅰ)求数列{bn }的通项bn；(Ⅱ)设数列{an }的通项an=loga⁡(1+1/bn )（其中a>0，且a≠1，记Sn是数列{an }的前n项和.试比较Sn与1/3 logabn+1的大小，并证明你的结论.

如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成,带钢从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出. (I)输入带钢的厚度为α,输出带钢的厚度为β,若每对轧辊的减薄率不超过r0.问冷轧机至少需要安装多少对轧辊?[一对轧辊减薄率= (输入该对的带钢厚度-从该对输出的带钢厚度) ÷输入该对的带钢厚度](Ⅱ)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600 mm.若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点,,在冷轧机输出的带钢上,疵点的间距为Lk.为了便于检修,请计算L1 、L2 、L3并填入下表(轧钢过程中,带钢宽度不变，且不考虑损耗).

设{an}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是【】

若Sn是数列{an }的前n项和.且Sn=n2，则{an }是【】

已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2=3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知2/Sn +1/bn =2.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式.

设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn=nan/3.已知a1,3a2,9a3成等差数列.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前和n项和.证明：Tn<Sn/2.

已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，若S5=0，则Si (i=0,1,2,…,100)中不同的数值有________个。

已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为1/4的等差数列，则|m-n|=【】

设{an}是等差数列；{bn}是等比数列；a1=b1=a2-b2=a3-b3=1.(1)求{an}与{bn }的通项公式；(2)设{an}的前n项和为Sn，求证：(Sn+1+an+1 ) bn=Sn+1 bn+1-Sn bn；(3)求∑k=12n(ak+1-(-1)k ak ) bk .

数列与推理

信息熵是信息论中的一个重要概念. 设随机变量 X 所有可能的取值为 1, 2, … , n, 且 P (X = i) = pi >0 (i = 1, 2, …, n), =1, 定义 X 的信息熵 H(X) = −log2 pi.【】

将数列 {2n − 1} 与 {3n − 2} 的公共项从小到大排列得到数列 {an}, 则 {an} 的前 n 项和为 __________.

已知 {an} 为等差数列, {bn} 为等比数列, a1 = b1 = 1, a5 = 5(a4 − a3), b5 = 4(b4 − b3).(I) 求 {an} 和 {bn} 的通项公式;(II) 记 {an} 的前 n 项和为 Sn, 求证: SnSn+2 < Sn+12 (n ∈ N∗);(III) 对任意的正整数 n, 设 cn = .求数列 {cn} 的前 2n 项和.

已知有限数列 {an} 项数为 m, 若其满足: |a1 − a2| ⩽ |a1 − a3| ⩽ · · · ⩽ |a1 − am|, 则称数列 {an} 满足性质 P .(1) 判断数列 3, 2, 5, 1 和数列 4, 3, 2, 5, 1 是否具有性质 P ;(2) 已知 a1 = 1, 公比为 q 的等比数列, 项数为 10, 具有性质 P , 求 q 的取值范围;(3) 若 an 是 1, 2, 3, · · · , m (m ⩾ 4) 的一个排列, bk = ak+1 (k = 1, 2, 3 · · · , m − 1), 数列 {an}, {bn} 都具有性质 P , 求所有满足条件的 {an}.

已知数列 {an}, {bn}, {cn} 中, a1 = b1 = c1 = 1, cn+1 = an+1 − an, cn+1=bn/bn+2 ∙cn (n ∈ N∗).(I) 若数列 {bn} 为等比数列, 且公比 q > 0, 且 b1 + b2 = 6b3, 求 q 的值及数列 {an} 的通项公式;(II) 若数列 {bn} 为等差数列, 且公差 d > 0, 证明: c1 + c2 + … + cn < 1 +1/d , n ∈ N∗.

试问数列：lg100,lg⁡(100sinπ/4),lg⁡(100sin2π/4),⋯,lg⁡(100sinn-1π/4)，前多少项的和的值最大？并求出这大值（这里取lg2=0.301）

已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1（如图）.设AC=a,BC=b,作数列u1=a-b,u2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,...uk=ak-ak-1b+ak-2b2-...+(-1)kbk;求证：un=un-1+un-2 (n≥3).

已知数列a1,a2,⋯an,⋯和数列b1,b2,⋯bn,⋯，其中a1=p,b1=q,an=pan-1,bn=qan-1+rbn-1 (n≥2)（p,q,r是已知常数，且q≠0,p>r>0）.(1) 用p,q,r,n表示bn，并用数学归纳法加以证明；(2) 求.

全国统考数列与推理

已知x1>0,x≠1,且xn+1=,(n=1,2,⋯).试证：数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn<xn+1，或者对任意自然数n都满足xn>xn+1.