高中数学-高考试题(全国统考 1997年函数的极值与最值)

问答题（1997年全国统考）

甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本速度(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.

(Ⅰ)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;

(Ⅱ)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?

答案解析

(Ⅰ)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为s/v，全程运输成本为y=a•s/v+bv2•s/v=s(a/v+bv),故所求函数及其定义域为y=s(a/v+bv),v∈ (0,c].(Ⅱ)依题意知s,a,b,v都为正数，故有s(a/v+bv)≥2s.当且仅有a/v=bv,即v=时上式中等号成立.若≤c，则当v=时，全程运输成本y最小.若>c，则当v∈ (0,c]时，有s(a...

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讨论

映射与函数

函数f,g:R⟶R定义为f(x)=x²+5/12,g(x)=,区域{(x,y)∈R×R||x|≤3/4,0≤y≤min⁡[f(x),g(x)]}的面积为α，则9α的值为________.

甲，乙两车分别从 A，B 两地同时出发相向而行，1 小时后，甲车到达 C 点，乙车到达 D点则能确定 AB 两地的距离【】(1)已知 C，D 两地距离(2) 已知甲，乙两车速度比

已知集合A={1,2,3}，映射f:A→A，且满足对任意x∈A，有f(f(x))≥x，且这样的f有________个.

设S={z∈C||z|=1}.求所有函数f:S→S，使得f为连续单射,且对任意z1,z2∈S，有f(z1 z2 )=f(z1)f(z2).

Find all functions f from the integers to the integers such that for all integers n：2f(f(n))=5f(n)-2n【译】求所有函数f:z→z，使得对任意整数n有：2f(f(n))=5f(n)-2n

函数 f(x) = 1/(x+1)+lnx 的定义域是__________.

已知 f(x) = x3, 则 f−1(x) =______.

设 a ∈ R, 若存在定义域为 R 的函数 f(x) 满足: ① 对任意 x0 ∈ R, f(x0) 的值为 x02 或 x0; ② 关于 x 的方程 f(x) = a 无实数解. 则 a 的取值范围是_______________.

求函数y=的定义域.

函数y=中，x的取值范围是__________.

函数的极值与最值

在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到a1,a2,…,an,共n个数据,我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量:与其他近似值比较,a与各数据的差的平方和最小.依此规定,从a1,a2,…,an推出的a=____________.

下列函数中最小值为4的是【】

若a>0,b>0，则1/a+a/b2 +b的最小值为__________.

某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆(如图，AD和DC为墙)，问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？

某工厂科研小组，对一项生产工艺过程总结出产量指标函数和消耗指标函数分别为：f1 (x)=ax2+1/2 x+C和f2 (x)=ax2+bx+5/4，且知f1 (-1)=f2 (-1)=f1 (3)=f2 (3)=2.(1)分别求出产量指标函数f1 (x)和消耗指标函数f2 (x)的具体表达式；(2)问因素x取何值时，f1 (x)和f2 (x)有最大值或最小值，最大值或最小值各是多少？(3)画出所求出的函数的略图.

将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和.记S=∑1≤i<j≤5xi xj .问：(1)当x1,x2,x3,x4,x5取何值时S取到最大值？(2)进一步地，对任意1≤i<j≤5有|xi-xj |≤2，当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取到最小值？说明理由.

Find the maximum value of (7-x)4 (2+x)6 when x lies between 7 and 2.

设α=sin2k⁡(π/6) ，函数g:[0,1]→R定义为g(x)=2αx+2α(1-x).下列叙述正确的有【】

设(a-1)(b-1)>0,a,b,θ皆为实数，求(a+cosθ)(b+cosθ)/(1+cosθ)之极小值.

设a>0，函数f(x)=，给出下列四个结论：①f(x)在区间(a-1,+∞)上单调递减；②当a≥1时，f(x)存在最大值；③设M(x1,f(x1 ))(x1≤a),N(x2,f(x2))(x2>a)，则|MN|>1；④设P(x3,f(x3 ))(x3<-a),Q(x4,f(x4))(x4≥-a)，若|PQ|存在最小值，则a的取值范围是(0,1/2].其中所有正确结论的序号是____________.

函数

设一三角形三边之长为方程式 x³ +px² + qx +r = 0 三根，式中 p,g,r 均为已知数，求此三角形之面积.

求方程式23x-31y=5,xy=13/32之解.

若方程式ax³+3bx²+3cx+d=0有二相等之根，则其系数间之关系为(bc-ad)²=4(ac-b²)(bd-c²)试证之.

There are two groups of boys on the street corner. One boy leaves the first group and joins the second. The groups are then equal in size. If one boy had left the second group and joined the first, the first group would then have been three times as large as the second. Find the original size of each group.

Solve and verify x²+3x-6(x²+3x-3)1/2+2=0

Determine the real value of k, so that the roots of equation, (k - 1)x² - kx - 2x + 4 = 0, may be real and equal.

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