高中数学-高考试题(河南大学 1947年解方程)

计算题（1947年河南大学）

求方程式23x-31y=5,xy=13/32之解.

答案解析

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讨论

高中数学

对于已知圆，作一外接三角形，与已知三角形相似.

设一三角形三边之长为方程式 x³ +px² + qx +r = 0 三根，式中 p,g,r 均为已知数，求此三角形之面积.

设一班有学生 40 人中有甲乙二生，今选四人为代表，问：(1).甲乙均被选共有几种方法？(2).甲乙均不被选共有几种方法？

设x,y,z为任意三个角，求证：sinxsin(y-z)cos⁡(y+z-x)+sinysin(z-x)cos⁡(z+x-y)+sinzsin(x-y)cos⁡(x+y-z)=0

设x,y,z为任意三个角，求证：sinx+siny+sinz-sin⁡(x+y+z)=4 sin⁡(x+y)/2 sin⁡(y+z)/2 sin⁡(z+x)/2

设 ABC 为一直角三角形，A 为直角，A 之平分线与 BC 交于 D，与此三角形之外接圆交于 B.求证: △ABC 之面积 =1/2 AD×AE.

设θ=2 tan-1⁡t，求以t表asin⁡(θ+b).

将 81 分为两整数，其一为 8 之倍数，其他为 5 之倍数.

分x3/(x+1)4 为分项分数.

求作圆，经过一定点，与两定直线相切.

解方程

根据指令(r,θ)(r≥0,-180°<θ≤180°),机器人在平面上能完成下列动作:先原地旋转角度θ(θ为正时,按逆时针方向旋转θ;θ为负时,按顺时针方向旋转-θ),再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(I)现机器人在直角坐标系的坐标原点,且面对x轴正方向.试给机器人下一个指令,使其移动到点(4,4).(Ⅱ)机器人在完成该指令后,发现在点(17,0)处有小球正向坐标原点做匀速直线滚动.已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍,若忽略机器人原地旋转所需的时间,问机器人最快可在何处截住小球?并给出机器人截住小球所需的指令(结果精确到小数点后两位).

设a∈R，函数f(x)=，若f(x)在区间(0,+∞)内恰好有6个零点，则a的取值范围是【】

红旗大队粮食产量逐年增加，1973年产量为90万斤，连续三年平均每年比前一年增产10%，这个大队从1973年到1976年总共生产粮食多少万斤？(精确到0.1)

已知2lgx+lg2=lg⁡(x+6)，求x.

求等式=125中x的值.

解方程：1/(x-1)+1=(4x-2)/(x2 - 1).

解方程lg(x-5)+lg(x+3)-2lg2=lg(2x-9).

解方程组并讨论a取哪些实数时，方程组(1)有不同的两实数解；(2)有相同的两实数解；(3)没有实数解.

方程(x2006+1)(1+x2+x4+⋯+x2004 )=2006x2005的实数解的个数为__________.

鸡犬共若干只，足数共三百二十，而鸡之头数为犬之头数之七分之二，问鸡犬各有几只.

函数

从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投人将比上年减少1/5.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1/4.( I )设n年内(本年度为第一年)总投人为an万元,旅游业总收人为bn万元.写出an,bn的表达式.(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

设函数f(x)=，则满足f(x)=1/4的x值为______.

用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量1/2，用水越多洗掉的农药量也越多,但总还有农药残留在蔬菜上,设用x单位量的水清洗一次以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x).( I )试规定f(0)的值,并解释其实际意义.(Ⅱ)试根据假定写出函数f(x)应该满足的条件和具有的性质.(Ⅲ)设f(x)=1/(1+x2 ).现有a(a>0)单位量的水，可以清洗一次,也可以把水平均分成2份后清洗两次,试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由.

函数y=2-x+1(x>0)的反函数是【】

已知f(x)=3/x+2，则f-1 (1)=__________.

已知一企业一年营业额1.1亿元，每年增加0.05亿元，利润0.16亿元，每年增长4%.(1)求营业额前20季度的和.(2)请问哪年哪季度营业额是利润的18%？

已知x1,x2∈R，若对任意的x2-x1∈S,f(x2 )-f(x1)∈S，则有定义：f(x)是S关联的.(1)判断和证明f(x)=2x-1是否在[0,+∞)关联？是否有[0,1]关联?(2)若f(x)是在{3}关联的，在x∈[0,3)时f(x)=x2-2x，求解不等式：2≤f(x)≤3.(3)证明：f(x)是{1}关联的，且是在[0,+∞)关联的，当且仅当“f(x)在[1,2]是关联的”.

已知a∈R，函数f(x)=，若f[f(√6)]=3，则a=__________.

求函数y=的定义域，并在数轴上表示出来.

求函数y=arcsin x/3的定义域，并在数轴上表示出来.