高中数学-竞赛试题(全国高中数学联赛 2006年解方程)

填空题（2006年全国高中数学联赛）

方程(x²⁰⁰⁶+1)(1+x²+x⁴+⋯+x²⁰⁰⁴ )=2006x²⁰⁰⁵的实数解的个数为__________.

答案解析

1方程两边同除以x2005：(x+1/x2005 )(1+x2+x4+⋯+x2004 )=2006⟺x+x3+x5+⋯+x2005+1/x2005 +1/x2003 +1/x2001 +⋯+1/x=2006⟺2006=(x+1/x...

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讨论

高中数学

底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为1/2 cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两个球与容器底面相切。现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水________________cm3.

已知椭圆x2/16+y2/4=1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l:x-√3 y+8+2√3=0上.当∠F1 PF2取最大值时，比|PF1 |/(|PF2 |)的值为____________.

若对一切θ∈R，复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为__________________.

设f(x)=sin4⁡x-sinxcosx+cos4⁡x，则f(x)的值域是__________________.

数码a1,a2,a3,⋯,a2006中有奇数个9的2007位十进制数的个数为【】.

设f(x)=x3+log2⁡(x+)，对任意实数a,b,a+b≥0是f(a)+f(b)≥0的【】.

在直棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC=π/2,AB=AC=AA1.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的不动点（不包括端点）.若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为【】

已知集合所以A={x│5x-a≤0},B={x│6x-b>0},a,b∈N，且A∩B∩N={2,3,4}，则整数对(a,b)的个数为【】.

设logx⁡(2x2+x-1)>logx⁡2-1，则x的取值范围为【】.

已知△ABC，若对任意t∈R,|(BA)→-t(BC)→ |≥|(AC)→|，则△ABC一定为【】。

解方程

解方程组并讨论a取哪些实数时，方程组(1)有不同的两实数解；(2)有相同的两实数解；(3)没有实数解.

方程x²-3|x-2|-4=0的所有实根之和为【】

北京大学解方程

求方程式y5-5y4+9y3-9y2+5y-1=0之五根.

设一三角形三边之长为方程式 x³ +px² + qx +r = 0 三根，式中 p,g,r 均为已知数，求此三角形之面积.

There are two groups of boys on the street corner. One boy leaves the first group and joins the second. The groups are then equal in size. If one boy had left the second group and joined the first, the first group would then have been three times as large as the second. Find the original size of each group.

Determine the real value of k, so that the roots of equation, (k - 1)x² - kx - 2x + 4 = 0, may be real and equal.

清华大学解方程

南京大学解方程

武汉大学解方程

函数

函数y=(ex-1)/(ex+1)的反函数的定义域是__________.

如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于关于直线y=x对称，那么【】

函数y=(ex - e-x)/2的反函数【】

设f(x) = 4x - 2x + 1，则f-1(0) = ________。

函数y=a|x| (a>1)的图像是【】

函数f(x)=1/x (x≠0)的反函数f-1 (x)=【】

若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab≠0，则g(b)等于【】

已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图像经过点Q(5,2),则b=______.

函数y=2-x+1(x>0)的反函数是【】

已知f(x)=3/x+2，则f-1 (1)=__________.