高中数学-高考试题(全国统考 1992年反函数)

单项选择（1992年全国统考）

函数y=(e^x - e^-x)/2的反函数【】

A、是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数

B、是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数

C、是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数

D、是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数

答案解析

C

讨论

指数函数

已知 1 < a ⩽ 2, 函数 f(x) = ex − x − a, 其中 e = 2.71828 … 为自然对数的底数.(I) 证明: 函数 y = f(x) 在 (0, +∞) 上有唯一零点;(II) 记 x0 为函数 y = f(x) 在 (0, +∞) 上的零点, 证明:(i) ≤x0≤;(ii) x0 f()≥(e-1)(a-1)a .

美国的物价从 1939 年的 100 增到四十年后 1979年的 500 ，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：自然对数 Inx 是以 e = 2.718 … 为底的对数．本题中增长率 x < 0.1，可用自然对数的近似公式：ln(1+x)≈x，取lg2=0.3 , In10=2.3 来计算．)

设1980年底我国人口以10亿计算.(1) 如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？(2) 要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增最高是多少？下列对数值可供选用：lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396lg1.0096=0.00417 lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060

如果正实数a,b满足ab=ba，且a<1，证明 a=b.

全国统考指数函数

已知函数f(x)=(2x-1)/(2x+1).(Ⅰ)证明: f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;(Ⅱ)证明对于任意不小于3的自然数n,都有f(n)>n/(n+1).

设a>0,f(x)=ex/a+a/ex 是R上的偶函数.（Ⅰ）求a的值.（Ⅱ）证明f(x)在(0,+∞)上是增函数.

计算：[1-(0.5)-2]÷(-27/8)1/3.

化简：(√6+√2)/(√6 - √2).

已知a=20.7,b=(1/3)0.7,c=log2(1/3)，则a,b,c的大小关系为【】

反函数

如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于关于直线y=x对称，那么【】

对任意不等于1的正数a，函数f(x)=loga⁡( x+3)的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标为______.

函数y=(0.2)-x+1的反函数是【】

函数y=(ex-1)/(ex+1)的反函数的定义域是__________.

设f(x) = 4x - 2x + 1，则f-1(0) = ________。

函数y=2-x+1(x>0)的反函数是【】

已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图像经过点Q(5,2),则b=______.

已知f(x)=3/x+2，则f-1 (1)=__________.

函数f(x)=1/x (x≠0)的反函数f-1 (x)=【】

若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab≠0，则g(b)等于【】

函数

复旦大学解方程

已知方程式2x³+x²+3x+5=0之根为a,b,c，试用变换方程式法求以a(1/b+1/c),b(1/c+1/a),c(1/a+1/b)为根之方程式.

解方程式x5-5x4-5x3+25x2+4x-20=0，已知各根为a,-a,b,-b,c等形式.

鸡蛋每个 80 元，鹅蛋每个 90 元，鸭蛋每个 70 元，用 9700 元买三种蛋共 120个，求各种蛋的个数.

解下列联立方程式x² - 4y² +x + 3y = 2x -y = 1

若x1,x2为方程式2x2-5x+3=0之二根，试求以x1/x2 与x2/x1 为根之方程式.

若a,b,c为方程式x³+px²+qx+r=0之根，试求以a-1/bc,b-1/ca,c-1/ab为根之方程式.

北京大学解方程

设a,b,c为方程式x³+px+q=0之三根，Sn=an+bn+cn.(1)展开下列行列式为p,q之函数∆=(2)表明∆>0时，a,b,c为三个不同实根；∆<0时，a,b,c三根中有一为实根，其余为二相配虚根；∆=0时，a,b,c为三实根且至少有二根相等.

解无理方程式+=，并就其结果讨论之.