高中数学-高考试题(南开大学 1949年解方程)

问答题（1949年南开大学）

方程12x³-28x²+17x-3=0之根为a,b,c，已知b=a+1，求a,b,c.

答案解析

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讨论

高中数学

证明： cos⁡(α+β-γ)+cos⁡(α-β+γ)-cos⁡(β+γ-α)-cos⁡(α+β+γ)=4cosα∙sinβ∙sinγ.

设人眼在墙顶上观察一塔，测得塔之全长所夹之角为θ，设墙高为h尺，墙与塔之距离为d尺.试证：(h²+d²)sinθ/(hsinθ+dcosθ)尺为塔这高.

试判别方程x²+2xy-8y²+2x+14y-3=0之图形的性质.

一圆经过两点(2,-3),(-4,-1)，而其中心在直线3y+x-18=0上，求圆的方程.

试证arcsinx+arcsiny=arcsin⁡(x+y).

求arctg(arcsin⁡(√2/2))的值.

设α,β,γ为三角形内角，求证tg(α/2)∙tg(β/2)+tg(β/2)∙tg(γ/2)+tg(γ/2)∙tg(α/2)=1.

级数1!/102 -2!/103 +3!/104 -⋯是收敛的还是发散的？

求以下两方程有公共根的条件：.

将f(x)=x³-3x²+5x+6的根增一常数，使变后的方程缺x²项.

解方程

已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根a,β.证明:(I)如果|α|<2,|β|<2,那么2|a|<4+b且|b|<4;(Ⅱ)如果2|a|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,β|<2.

某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x) - x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<1/a.(Ⅰ)当x∈(0,x1 )时，证明x<f(x)<x1；(Ⅱ)设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称，证明x0<x1/2.

解x+y+=a,x-y+=b.

二水管齐开需72/7点钟装满一水池，若大管独开则较小管独开所需之时少 6点钟，试求每水管独开需若干点钟可装满此水池。

解下列方程式Ax2+2Bx+2(B-A)=0，并证明其根恒为实数.

油价上涨5%后，加一箱油比原来多花 20 元，一个月后油价下降了 4%，则加一箱油需要花【】元

已知甲、乙两公司的利润之比为 3:4，甲、丙两公司的利润之比为 1:2.若乙公司的利润为 3000 万元，则丙公司的利润为【】万元

甲乙两人从同一地点出发，甲先出发 10 分钟，若乙跑步追赶甲，则 10 分钟追上，若骑车追赶甲，每分钟比跑步多行 100 米，则 5 分钟追上，那么甲每分钟走的距离为【】米.

方程x²-3|x-2|-4=0的所有实根之和为【】

函数

已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是【】

某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养殖提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克.根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系:P=1000(x+t-8)(x≥9,t≥0),Q=500(8≤x≤14).当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格.(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元?

函数f(x)=1/x (x≠0)的反函数f-1 (x)=【】

已知映射f:A→B，其中，集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元函数是|a|则集合B中元素的个数是【】

若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab≠0，则g(b)等于【】

已知函数y=f(x)的图像是自原点出发的一条折线.当n≤y≤n+1(n=0,1,2⋯)时，该图像是斜率为bn的线段（其中正常数b≠1），设数列{xn }由f(xn)=n(n=1,2⋯)定义.（Ⅰ）求x1,x2和xn的表达式；（Ⅱ）求f(x)的表达式，并写出其定义域；（Ⅲ）证明：y=f(x)的图像与y=x的图像没有横坐标大于1的交点.

设集合A和B都是自然数集合N，映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象是【】

《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分 5%超过500元至2000元的部分 10%超过2000元至5000元的部分 15%… …某人1月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于【】

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(左)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(右)的抛物线段表示.(I) 写出图(左)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t);写出图(右)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t);(II) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg,时间单位：天）

设集合A和B都是坐标平面上的点集{(x,y)|x∈R,y∈R},映射f:A→B把集合A中的元素（x,y）映射成集合B中的元素（x+y,x-y），则在映射f下，象(2,1)的原象是【】