高中数学-高考试题(四川大学 1947年三角恒等变换)

证明题（1947年四川大学）

设x,y,z为任意三个角，求证：

sinx+siny+sinz-sin⁡(x+y+z)=4 sin⁡(x+y)/2 sin⁡(y+z)/2 sin⁡(z+x)/2

答案解析

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讨论

高中数学

设 ABC 为一直角三角形，A 为直角，A 之平分线与 BC 交于 D，与此三角形之外接圆交于 B.求证: △ABC 之面积 =1/2 AD×AE.

设θ=2 tan-1⁡t，求以t表asin⁡(θ+b).

将 81 分为两整数，其一为 8 之倍数，其他为 5 之倍数.

分x3/(x+1)4 为分项分数.

求作圆，经过一定点，与两定直线相切.

圆之直径 AB 上任意取 P 点，又 CD 与直径平行，求证 AP² + BP²=CP² + DP².

于 A,B,C 三阵地测得敌机之仰角为 60°,45°,45°，今 B 地在 A 地正北 3000尺，C 地在 A 地之正西 4000 尺，求敌机之高，并讨论之.

作一正方形，令其四边分别经过四已知点.

圆内接四边形 ABCD 内，∠A = 90°,AB = a,BC = b，其面积为 c²，求CD,DA 及圆半径之长.

解无理方程式+=，并就其结果讨论之.

三角恒等变换

若3sin⁡α-sin⁡β=√10,α+β=π/2，则sin⁡α=__________，cos⁡2β=_________．

函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为【】

证明：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

证明：cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB.

试证(cosA+sinA)/(cosA-sinA)=tan2A+sec2A.

试证 (tana+tanb)/(tana-tanb)=sin⁡(a+b)/sin⁡(a-b).

设A,B,C 为一三角形之三角，试证 sin²A+sin²B+sin²C = 2+2cosAcosBcosC.

求证 sin⁡(x+y)/sin⁡(x-y)=(tanx+tany)/(tanx-tany)

证明 (sin²⁡A-sin²⁡B)/(sinAcosA-sinBcosB)=tan⁡(A+B).

若A+B+C=180°，证sinA+sinB-sinC=4 sin⁡(A/2)sin(B/2)sin(C/2).

三角函数

已知函数f(x)=tanx,x∈(0,π/2).若x1,x2∈(0,π/2),且x1≠x2,证明1/2 [f(x1)+f(x2)]>f((x1+x2)/2).

函数y=4sin⁡(3x+π/4)+3cos(3x+π/4)的最小正周期是【】

tan20°+tan40°+tan20°tan40°的值时________.

函数y=tan⁡(1/2 x - 1/3 π)在一个周期内的图像是【】

函数y=sin⁡(π/3 - 2x)+cos⁡2x的最小正周期是【】

sin600°的值是【】

已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是【】

在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，设a+c=2b,A-C=π/3，求sin⁡B的值.以下公式供解题是参考：sinθ+sinφ=2sin (θ+φ)/2 cos (θ-φ)/2，sinθ-sinφ=2cos (θ+φ)/2 sin (θ-φ)/2,cosθ+cosφ=2cos (θ+φ)/2 cos (θ-φ)/2,cosθ-cosφ=-2sin (θ+φ)/2 sin (θ-φ)/2.

函数f(x)=M sin⁡(ωx+φ) (ω>0)在区间[a,b]上是增函数，且f(a)=-M,f(b)=M，则函数g(x)=M cos⁡(ωx+φ)在[a,b]上【】

若f(x)sin⁡x是周期为π的奇函数，则f(x)可以是【】