问答题(2023年新高考Ⅱ

已知函数f(x)=cosαx-ln⁡(1-x²),若x=0是f(x)的极大值点,求α的取值范围.

答案解析

令1-x²>0,得-1<x<1,即函数的定义域为(-1,1) ,若α=0,则f(x)=-ln⁡(1-x²),x∈(-1,1),∵y=-lnu在定义域内单调递减,y=1-x²在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,∴f(x)=-ln⁡(1-x²)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,故x=0是f(x)的极小值点,不合题意,所以α≠0.当α≠0时,令b=|α|>0,∵f(x)=cosαx-ln⁡(1-x²)=cos⁡(|α|x)-ln⁡(1-x²)=cosbx-ln⁡(1-x²),且f(-x)=cos⁡(-bx)-ln⁡[1-(-x)²]=cosbx-ln⁡(1-x²)=f(x),所以函数f(x)在定义域内为偶函数,由题意可得:f' (x)=-bsinbx-2x/(x²-1),x∈(-1,1),(ⅰ)当0<b²≤2时,取m=min⁡{1/b,1},x∈(0,m),则bx∈(0,1),由(1)可得f' (x)=-bsin(bx)-2x/(x²-1)>b²x-2x/(x²-1)=(x(b²x²+2-b²))/(1-x²),且b²x²>0,2-b²≥0,1-x²>0,∴f' (x)>(x(b²x²+2-b²))/(1-x²)>0,即当x∈(0,m)⊆(0,1)时,f' (x)>0,∴f(x)在(0,m)上单调递增,根据偶函数的...

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讨论

已知函数f(x)=2x3-9x2+ax+5在x=1处取得极大值,在x=b处取得极小值,则a+b的值为【 】

Find the maximum value of (7-x)4 (2+x)6 when x lies between 7 and 2.

Find the maximum value of (5+x)(2+x)/(1-x).

设α=sin2k⁡(π/6) ,函数g:[0,1]→R定义为g(x)=2αx+2α(1-x).下列叙述正确的有【 】

求(x+2)/(2x²+3x+6)之最大值.

设(a-1)(b-1)>0,a,b,θ皆为实数,求(a+cosθ)(b+cosθ)/(1+cosθ)之极小值.

在研究某市交通情况时, 道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间, 车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度. 现定义交通流量为 v=q/x(x, q 分别是道路密度和车辆密度, 且 x ∈(0, 80]). 据调查某路段的交通流量有如下规律:,(k > 0).求: (1) 若交通流量 v 大于 95, 求 x 的取值范围;(2) 已知道路密度为 80 时, 交通流量为 50. 问 x 多少的时候 q 最大?

已知 5x2y2 + y4 = 1 (x, y ∈ R), 则 x2 + y2 的最小值是________.

在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到a1,a2,…,an,共n个数据,我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量:与其他近似值比较,a与各数据的差的平方和最小.依此规定,从a1,a2,…,an推出的a=____________.

甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本速度(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.(Ⅰ)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(Ⅱ)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.

已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-e⁡x2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1<x2,则a的取值范围是____________.

已知函数f(x)=ln⁡(1+x)+axe-x(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.

已知函数f(x)=ax-1/x-(a+1)ln⁡x.(1)当a=0时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.

已知函数f(x)=ex ln⁡( 1+x).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)设g(x)=f'(x),讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性;(3)证明:对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).

设函数f(x)=e/2x+ln⁡x (x>0).(1)求f(x)的单调区间;(2)已知a,b∈R,曲线y=f(x)上不同的三点(x1,f(x1 )),(x2,f(x2 )),(x_3,f(x_3 ))处的切线都经过点(a,b).证明:(ⅰ)若a>e,则0<b-f(a)<1/2 (a/e-1);(ⅱ)若0<a<e,x1<x2<x_3,则2/e+(e-a)/(6e2 )<1/x1 +1/x_3 <2/a-(e-a)/(6e2 ).(注:e=2.71828⋯是自然对数的底数)

设f(x)=ex-asinx,g(x)=b√x.(1)求函数y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程;(2)若y=f(x)与y=g(x)有公共点,ⅰ)当a=0时,求b的取值范围;ⅱ)求证:a2+b2>e.

求使方程2x3-6x2+k=0恰有2个互异实数解的整数k共有多少个.

点P在直线上运动,t(t≥0)时刻的速度v(t)和加速度a(t)满足以下条件:(1)当0≤t≤2时,v(t)=2t3-8t.(2)当t≥2时,a(t)=6t+4.求点P从t=0到t=3时刻移动的距离.

最高次项系数为1的三次函数f(x)和实数集上的连续函数g(x)满足下列条件,求f(4).(1)对于任意实数x,f(x)=f(1)+(x-1) f' [g(x)],(2)函数g(x)的最小值为5/2,(3) f(0)=-3,f[g(1)]=6.