高中数学-高考试题(全国统考 1987年抛物线)

问答题（1987年全国统考）

定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y²=x上移动，记线段AB的中点为M.求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标.

答案解析

设A(x1,y1 ),B(x2,y2 ),AB长度为3，那么x1=,x2=, ①32=(x2-x1)2+(y2-y1)2 =(-)2+(y2-y1)2 =(y2-y1)2 [(y2+y1 )2+1]. ②线段AB的中点M(x,y)到y轴的距离为x=(x1+x2)/2=1/2(+) =1/4[(y1-y2 )2+((y1+y2 )2+1)-1] ≥1/4[2-1] 由②得x...

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讨论

抛物线

经过抛物线焦点的弦与抛物线的轴成角θ，试证此弦在抛物线内之截线等于L/sin²⁡θ ，其中L为正焦弦之长（经过焦点而又垂直于轴之弦，称为正焦弦）.

已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程；(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足=9，求直线OQ斜率的最大值.

已知抛物线C:y2=4x，焦点为F，点M在C上，且|FM|=6，则M的横坐标是______；作MN⊥x轴于N，则S△FMN=______.

已知抛物线y2=2px(p>0)，若第一象限的点A,B在抛物线上，焦点为F,|AF|=2,|BF|=4,|AB|=3，直线AB的斜率为__________.

已知二次函数y=x2﹣6x+5.(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;(2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标.

已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，过点B(0,-1)的直线交C于P，Q两点，则【】

设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3．（1）求C的方程；（2）设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．当α-β取得最大值时，求直线AB的方程．

设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=【】

设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=【】

设S为抛物线y2=4x的焦点，过点P(-2,1)做抛物线的切线，切点分别为P1与P2，线段SP1上的点Q1与线段SP2上的点Q2满足PQ1⊥SP1,PQ2⊥SP2，则以下说法正确的是【】

圆锥曲线

已知椭圆E:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)的离心率为√3/5.设椭圆E的上、下顶点分别为A,C，左、右顶点分别为B,D,|AC|=4.(1)求椭圆E的方程；(2)点P在椭圆E的第一象限上运动，直线PD与直线BC交于点M，直线AP与直线y=-2交于点N.求证：MN//CD.

已知A(0,3)和P(3,3/2)为椭圆C:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)上两点.(1)求椭圆C的离心率；(2)若过点P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程.

已知 A, B 分别为椭圆 E : +y2 = 1(a > 1) 的左、右顶点, G 为 E 的上顶点, = 8, P 为直线 x = 6上的动点, PA 与 E 的另一交点为 C, PB 与 E 的另一交点为 D.(1) 求 E 的方程;(2) 证明: 直线 CD 过定点.

已椭圆 +y2 =1，圆x2 + y2=4，从圆上一点作椭圆的切点弦，求切点弦所围成的面积.

已知椭圆 C1 : x2/a2 + y2/b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合. C1 的中心与 C2 的顶点重合,过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A, B 两点, 交 C2 于 C, D 两点. 且 |CD| = 4/3|AB|.(1) 求 C1 的离心率;(2) 设 M 是 C1 与 C2 的公共点. 若 |MF | = 5, 求 C1 与 C2 的标准方程.

如图，已知椭圆长轴|A1A2 |=6，焦距|F1F2 |=4，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M,N，设∠F2F1M=α（0≤α<π），当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？

求经过定点M(1,2),以y轴为准线,离心率为1/2的椭圆的左顶点的轨迹方程.

已知椭圆Γ的方程x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)，点P的坐标为 (-a,b).(1) 若直角坐标平面上的点 M,A(0,-b),B(a,0)满足=1/2(+),求点M的坐标；(2) 设直线l1:y=k1 x+p交椭圆Γ于C,D两点，交直线l2：y=k2 x 交于点E，若k1•k2=-b2/a2 ，证明：E为CD的中点；(3) 对于椭圆Γ上的点Q(acos⁡θ,bsin θ)(0<θ<π)，如果椭圆Γ上存在不同的两点P1, P2,使得+=，写出求作点P1，P2的步骤，并求出使P1, P2存在的θ的取值范围.

设椭圆方程为x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)，令c=，那么它的准线方程为【】

已知椭圆C的焦点分别为F1(-2,0)和F2(2,0),长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点，求线段AB的中点坐标.

平面解析几何

在 △ABC 中, AB = 4, AC = 3, ∠BAC = 90º, D 在边 BC 上, 延长 AD 到 P , 使得 AP = 9. 若=m+(3/2-m) (m 为常数), 则 CD 的长度是__________.

在 △ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c. 已知 a = 3, c = , B = 45º. (1) 求 sinC 的值;(2) 在边 BC 上取一点 D, 使得 cos∠ADC =-4/5, 求 tan∠DAC 的值.

外国船只，除特许者外，不得进人离我海岸线 d海里的区域．设 A 及 B 是我们的观测站 , A 及 B 间的距离为s海里，海岸线是过 A 、B 的直线. 一外国船只在P点．在 A 站测得∠BAP=α ，同时在 B 站测得∠ABP=β，问及满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船只发出警告，命令退出我海域？

设等腰△OAB的顶角为 2θ，高为h.(1) 在△OAB内有一动点P，到三边OA,OB,AB的距离分别为|PD|,|PF|,|PE|，并且满足关系式|PD|∙|PF|=|PE|2，求P点的轨迹.(2) 在上述轨迹中定出点P的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|.

如图所示，直线x=2 与双曲线 Γ: x2/4 - y2=1的渐进线交于E1, E2两点，记=e1,=e2.任取双曲线Γ上的点P，若 = ae1+be2 （a,b∈R)，则a,b满足的一个等式是_______.

某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是1/13 ，1/11 ，1/5 ，则此人将【】

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC.(1)证明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

已知向量=(3,1),=(1,0),=+k，若⊥，则k=________.

已知向量=(2,5),=(λ,4)，若//，则λ=_______.

在△ABC中，已知a=3,b=2c.(1)若A=2π/3，求S△ABC.(2) 若2sinB-sinC=1，求C△ABC.