高中数学-竞赛试题(东南地区奥林匹克 2024年图)

问答题（2024年东南地区奥林匹克）

在n×n的方格表中，若两个方格有公共边，则称它们是相邻的.若l个互异方格A₁,A₂,⋯,A_l满足A_i和A_i+1相邻（1≤i≤l-1），则称它们为一条长度为l的“龙”.求最大正整数k，使得可以给每个方格填上0或者1，并且对任意一个方格A，和以A中数字为首项的0,1序列m₁,m₂,⋯,m_k，都存在从A开始的长度为k的龙，方格中的数字依次是m₁,m₂,⋯,m_k.

答案解析

解答过程见word版

讨论

高中数学

证明：任意正整数的平方均可表示为((a-b)²+(b-c)²+(c-a)²)/(2(ab+bc+ca))的形式，其中a,b,c为正整数.

设P为平面凸多边形，若线段AB的两端点在P的边界上，并且过A,B与AB垂直的两条直线之间的区域(含边界)包含P，则称线段AB为“锦弦”. 求最大的正整数k，使得任意平面凸多边形P都有k条锦弦.

若实数τ满足：对任意正整数x,y,z，均有x²+2y²+4z²+8≥2x(y+z+τ)则称τ为“平生数”.记最大的平生数为τ0.(1)求τ0的值；(2)求方程x²+2y²+4z²+8=2x(y+z+τ0)的所有正整数解(x,y,z).

记△ABC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,c，已知sinA+√3 cosA=2.(1)求A.(2)若a=2,√2 bsinC=csin2B，求△ABC的周长.

在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有____种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是______.

已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4,tanαtanβ=√2+1，则sin⁡(α+β)=______.

记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7,3a2+a5=5，则S10=________.

设函数f(x)=2x³-3ax²+1，则【】

抛物线C:y²=4x的准线为l,P为C上的动点，过P作⨀A:x²+(y-4)²=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则【】

对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin⁡(2x-π/4)，下列正确的有【】

图

某城街路为棋盘式，走向南北者有 a 条，而走向东西者有 6 条，一行人欲由西北隅向最短之路走到东南隅，问计共有若干方法？

设n是一个正整数.日式三角是将1+2+…+n个圆排成正三角形的形状,使得对 i= 1,2，…,n,从上到下的第i行恰有个圆，且其中恰有一个被染为红色.在日式三角内，忍者路径是指一串由n个圆组成的序列，从最上面一行的圆开始，每次从当前圆连接到它下方相邻的两个圆之一，直至到达最下面一行的某个圆为止.下图为一个n=6的日式三角,其中画有一条包含两个红色圆的忍者路径.求最大的整数k(用n表示),使得在每个日式三角中都存在一条忍者路径,它包含至少k个红色圆.

Let n be a positive integer. A“Northern European Square Matrix (NESM) is an n×n square containing all the integers from 1 to n²,so that there is exactly one number in each grid.The two different grids are neighbours if they share a common edge.A grid is called a "valley”if the integer in it in smaller than the integers in all the neighbours of the grid. An "uphill path”is a sequence containing one or more grids satisfying:(i)the frist grid of the sequence is a valley,(ii) each subsequent grid in the sequence is the neighbour of its previous grid,(iii) the integers in the girds of the sequence is incremented.Figure out the minimum possible value of the number of uphill paths in a NESM which should be represented by a function of n.译文：令n为一个正整数，一个“北欧方阵”是一个包含1至n²所有整数的n×n的方格表，使得每个方格中恰有一个数字。两个相异方格如果有公共边，称它们是相邻的。如果一个方格内的数字比所有相邻方格内的数字都小，称其为“山谷”。一条“上坡路径”是一个包含一或多个方格的序列，满足：(1)序列的第一个方格是山谷；(2)序列中随后的每个方格都和前一个方格相邻；(3)序列中方格所写的数字递增。试求一个北欧方阵中山坡路径的最小可能值，以n的函数表示之。

如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为【】

给定整数n > 1 ．在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站．有两家缆车公司 A 和B，各运营 k 辆缆车；每辆从一个车站运行到某个更高的车站（中间不停留其他车站） . A 公司的 k 辆缆车的k个起点互不相同， k 个终点也互不相同，并且起点较高的缆车，它的终点也较高． B 公司的缆车也满足相同的条件．我们称两个车站被某家公司连接，如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站（中间不允许在车站之间有其他移动）. 确定最小的正整数 k ，使得一定有两个车站被两家公司同时连接．(印度供题）

There are 4n pebbles of weights 1,2,3,…,4n. Each pebble is coloured in one of n colours and there are four pebbles of each colour. Show that we can arrange the pebbles into two piles so that the following two conditions are both satisfied:● The total weights of both piles are the same.● Each pile contains two pebbles of each colour.有 4n 枚石子，重量分别为 1 , 2 , 3 , … ， 4n ．每一枚小石子都染了n种颜色之一，使得每种颜色的小石子恰有四枚．证明：可以把这些小石子分成两堆，且满足以下两个条件：● 两堆小石子的总重量相同；● 每堆中每种颜色的小石子各有两枚．(匈牙利供题)

在锐角三角形△ABC中，AB>AC,O为外心. 设D为BC上一点，O1,O2分别为△ABD,△ACD的外心，△AO1O2的外接圆与⨀O交于不同于A的点L.证明：A,O,D三点共线当且仅当AL//BC.

求方程(√3+2sin2x)/(√3+2sinx)=√3 sinx+cos2x/2cosx在(0,π/2)内的解.

设a正整数，fa (x)=x4+ax²+1.定义集合Pa={p|p为素数，且存在正整数k使得fa (2k)是p的倍数}(1)证明：对任意正整数a,Pa为无限集；(2)若Pa的任意两个元素之差是8的倍数，求正整数a的最小值.

一项考试的可能得分为0,1,2,⋯,150，有100名考生P1,P2,⋯,P100，考完后依顺时针围成一圈交流成绩，记Pi的成绩为ai.每个考生Pi比较自己与相邻两人Pi-1,Pi+1（下标按模100理解）的得分，定义Pi的激励值fi为：fi=记S=f1+f2+⋯+f100.(1)求S的最大值；(2)求使得f1,f2,⋯,f100两两不相等的S的最大值.

平面几何

圆内接四边形 ABCD 内，∠A = 90°,AB = a,BC = b，其面积为 c²，求CD,DA 及圆半径之长.

作一正方形，令其四边分别经过四已知点.

圆之直径 AB 上任意取 P 点，又 CD 与直径平行，求证 AP² + BP²=CP² + DP².

求作圆，经过一定点，与两定直线相切.

With BC, one leg of △ABC, as diameter, a circle is described intersecting the hypotenuse AC at P. From P draw a tangent intersecting AB at D. Showt hat AD = BD.

The sides of a triangle are 149,163 and 222. To find(1) The area of the triangle.(2) The radius of the inscribed circle.(3) The angles of the triangle.

在△ABC的边AB,AC上各取D,E点，使AD=1/3 AB,AE=1/3 AC，连结BE,CD相交于F点.求证：S△FBC=1/2 S△ABC.

A,B,C 为三定点，求作一圆过 A,B，使从 C 到此圆的切线等于定长.

已知PA,PB,PC为过圆周上点P三弦，PT为圆之切线，设有一直线与PT平行，交PA,PB,PC于A',B',C'三点.求证：PA∙PA'=PB∙PB'=PC∙PC'.

设 △ABC 的重心为 G，BC、CA 的中点为 E、F，设 △ABC 的面积为 K，求△GEF 的面积.