高中数学-竞赛试题(全国高中数学联赛 2015年椭圆)

问答题（2015年全国高中数学联赛）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆x²/a² +y²/b² =1(a>b>1)的右焦点为F(c,0)，若存在经过焦点F的一条直线l交椭圆于A,B两点，使得OA⊥OB.求椭圆的离心率e=c/a的取值范围.

答案解析

解答过程见word版

讨论

圆锥曲线

已知曲线C:x²+y²=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为【】

抛物线C:y²=4x的准线为l,P为C上的动点，过P作⨀A:x²+(y-4)²=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则【】

已知双曲线x2/a2 -y2/b2 =1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F且斜率为b/4a的直线交双曲线于点A(x1,y1 )，交双曲线的渐近线于点B(x2,y2 )且x1<0<x2．若|FB|=3|FA|，则双曲线的离心率是_________．

已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(√7,0)，直线y=x-1与其相交于M,N两点，MN的中点横坐标为-2/3，则此双曲线的方程是【】

已知抛物线y2=4√5 x,F1,F2分别是双曲线x2/a-y2/b=1(a>0,b>0)的左右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，与双曲线的渐近线交于点A,，若∠F1 F2 A=π/4，则双曲线的标准方程是【】

英：Find the equation to the normal to hyperbola x2/a2 -y2/b2 =1 at the point (x1,y1) . 汉：求双曲线x2/a2 -y2/b2 =1在点(x1,y1)处的法线方程.

Show that the tangent to a hyperbola makes equal angles with the focal radii drawn to the point of tangency.

求圆锥曲线 2x²-8xy - 4y² - 4y +1=0 之焦点及准线.

判别曲线=0的性质.

双曲线上一点与其两渐近线之阿离如何？并证此两距离相乘之积为常数.

椭圆

如图，在面积为1的△PMN中，tanM=1/2,tanN=-2.建立适当的坐标系，求出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.

如果方程x2 + ky2 = 2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是【】

椭圆C与椭圆(x-3)2/9+(y-2)2/4=1关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是【】

椭圆x2/12+y2/3=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1 |是|PF2 |的【】

设椭圆x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的右焦点为F1右准线为l1.若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是________.

椭圆x2/9+y2/4=1的焦点为F1,F2,点P为其上的动点.当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是____________.

已知椭圆C的焦点分别为F1(-2,0)和F2(2,0),长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点，求线段AB的中点坐标.

若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)，F2(3,0)，则其离心率为【】

设F1,F2为椭圆x2/9+y2/4=1的两个焦点，P为椭圆上的一点.已知P,F1,F2是一个直角三角形的上顶点，且|PF1|>|PF2|，求|PF1|/|PF2| 的值.

已知椭圆x2/2+y2=1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C在右准线l上，且BC//x轴.求证直线AC经过线段EF的中点.

平面解析几何

已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|=【】

记△ABC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,c，已知sinA+√3 cosA=2.(1)求A.(2)若a=2,√2 bsinC=csin2B，求△ABC的周长.

函数f(x)=a-√3tan2x在闭区间[-π/6,b]上的最大值为7，最小值为3，则a×b的值为【】

设A,B,C与a,b,c依次为一三角形之三角与三边，试证a/(b+c)=

英：Show how to describe a triangle having given its angles and its perimeter.汉：己知三角形三角及周长，解此三角形.

英：Find the equation to the straight line which passes through the points(2,5)and (0,-7).汉：求过(2,5)和(0,-7)两点的直线方程.

Chords of the circle p=29cosθ which pass through the pole are extended a distance 2b. Find the locus of their extremities.

关于直交轴有三直线: x=0,y=0,x/a+y/b=1.求与此三直线相切之圆之方程式.

求二直线y=m1x+c1,y=m2x+c2及y轴所包围之三角形之面积.

求与原点及直线x+4y=8等距离之点之轨迹方程式.