高中数学-竞赛试题(东南地区奥林匹克 2024年线与角)

问答题（2024年东南地区奥林匹克）

求最大的正整数n，使得平面上存在n个点P₁,P₂,⋯,P_n(任意三点不共线)和不过其中任意点的n条直线l₁,l₂,⋯,l_n(任意三线不共点)，满足对任意i≠j，直线P_i P_j,l_i,l_j三线共点.

答案解析

当n=3时，任取不共线的三点P1,P2,P3，在P1 P2,P2 P3,P3 P1上各取非端点的一点Q1,Q2,Q3，取l1,l2,l3分别为直线Q1 Q2,Q2 Q3,Q3 Q1即可.当n=4时，设对于{i,j}≠{3,4}均有li,lj,Pi Pj共点于Aij，并记直线l3,l4交于点A34，再设P1 A34,l2交于X,P2 A34,l1交于Y(这里X,Y可以是无穷远点).由于Aij在li上，故Aij≠Pi.若Pi在l...

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讨论

高中数学

在平面直角坐标系xOy中，椭圆x²/a² +y²/b² =1(a>b>1)的右焦点为F(c,0)，若存在经过焦点F的一条直线l交椭圆于A,B两点，使得OA⊥OB.求椭圆的离心率e=c/a的取值范围.

设a,b,c,d∈(0,1)，满足a²+b²+c²+d²=3，证明：(1-a²)/(b+c)+(1-b²)/(c+d)+(1-c²)/(d+a)+(1-d²)/(a+b)<2/3.

证明：存在有理数集Q的无限子集A和B，同时满足以下三个条件：(ⅰ) A∪B=Q,A∩B=∅；(ⅱ) ∀x,y∈A⟹xy∈B,∀x,y∈B⟹xy∈B；(ⅲ) ∀n∈Z,(n,n+1)∩A≠∅,(n,n+1)∩B≠∅.

一项考试的可能得分为0,1,2,⋯,150，有100名考生P1,P2,⋯,P100，考完后依顺时针围成一圈交流成绩，记Pi的成绩为ai.每个考生Pi比较自己与相邻两人Pi-1,Pi+1（下标按模100理解）的得分，定义Pi的激励值fi为：fi=记S=f1+f2+⋯+f100.(1)求S的最大值；(2)求使得f1,f2,⋯,f100两两不相等的S的最大值.

设a正整数，fa (x)=x4+ax²+1.定义集合Pa={p|p为素数，且存在正整数k使得fa (2k)是p的倍数}(1)证明：对任意正整数a,Pa为无限集；(2)若Pa的任意两个元素之差是8的倍数，求正整数a的最小值.

求方程(√3+2sin2x)/(√3+2sinx)=√3 sinx+cos2x/2cosx在(0,π/2)内的解.

在锐角三角形△ABC中，AB>AC,O为外心. 设D为BC上一点，O1,O2分别为△ABD,△ACD的外心，△AO1O2的外接圆与⨀O交于不同于A的点L.证明：A,O,D三点共线当且仅当AL//BC.

已知函数f(x)=ex-ax-a3.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.

在n×n的方格表中，若两个方格有公共边，则称它们是相邻的.若l个互异方格A1,A2,⋯,A_l满足Ai和Ai+1相邻（1≤i≤l-1），则称它们为一条长度为l的“龙”.求最大正整数k，使得可以给每个方格填上0或者1，并且对任意一个方格A，和以A中数字为首项的0,1序列m1,m2,⋯,mk，都存在从A开始的长度为k的龙，方格中的数字依次是m1,m2,⋯,mk.

证明：任意正整数的平方均可表示为((a-b)²+(b-c)²+(c-a)²)/(2(ab+bc+ca))的形式，其中a,b,c为正整数.

线与角

路旁有塔 CD，塔底 D 与路最近处为路上之 A 点.于路上 B 点测得塔顶 C之仰角为 α，又测得 BC 与路成角β .已知 AD =l，求塔高.

已知角 A 及角内一点 P，求作过 P 点的直线，使其在 A 角内之部分被 P 点平分.

Given ∠1=∠2,a,b,c，find d.

Twos tations,A and B on opposite side of a mountain, are both visible from a third station C. The distance AC=3m.CB=5m and the angle ACB=60°. Find the distance between A and B.

过一已知点，作直线分已知等腰梯形为两等积形.

Two straight roads intersect at an angle of 30°. If two automobiles start at the same time at the junction, one at the rate of 60 miles an hour and the other atthe rate of 40 miles an hour, how far apart will they be in 15 minutes?

一定点 D在 AB 及 AC 两直线间，求作过 D至 AB、AC 两线之直线，并 D为所作线之三等分点之一点，并证有二此等线.

若实数τ满足：对任意正整数x,y,z，均有x²+2y²+4z²+8≥2x(y+z+τ)则称τ为“平生数”.记最大的平生数为τ0.(1)求τ0的值；(2)求方程x²+2y²+4z²+8=2x(y+z+τ0)的所有正整数解(x,y,z).

设P为平面凸多边形，若线段AB的两端点在P的边界上，并且过A,B与AB垂直的两条直线之间的区域(含边界)包含P，则称线段AB为“锦弦”. 求最大的正整数k，使得任意平面凸多边形P都有k条锦弦.

有红、黄、蓝3种不同颜色的帽子各足够多顶.一个游戏团队有n(n≥4)个人,每人都知晓团队的人数为n，帽子的颜色有红、黄、蓝3种可能. 他们围成一圈进行如下游戏：步骤1：AI给每个人分配一顶帽子，每人都看不到自己的帽子，只能看到与自己相邻的两人(即顺时针、逆时针离他最近的人)的帽子；步骤2：所有人同时猜自己的帽子颜色，只要有一个人猜对，就视作游戏团队获胜;若所有人都猜错，则AI获胜.游戏团队可在步骤1之前约定猜帽子颜色的策略.(1) n=4时，游戏团队是否有必胜策略？证明你的结论；(2) n=9999时，游戏团队是否有必胜策略？证明你的结论.

平面几何

如图，在△ABC中，AB>AC,△ABC的内切圆I分别切边BC,CA,AB于点D,E,F.设M为DE的中点，N为DF的中点，直线EF与BC相交于点P，过点P作动直线l交内切圆I于不同的两点G,H,且I,M,G和I,N,H均不共线，△IMG的外接圆与△INH的外接圆交于不同于I的点Q,证明：点Q始终在一个定圆上.

内接于圆之平行四边形为矩形，其对角线通过圆心，试证明之.

求内接于圆之正六角形与外切正三角形之面积之比.

两圆相外切 (tangent externally) 于 A，又有一外公切线 (common external tangent) 切两圆于 B 及 C，试证 ∠BAC 为直角(right angle).

已知三角形之三角及其面积，求作其圆.

PQRS为平面四边形，QR=1，∠PQR= ∠QRS= 70°，∠PQS=15°，∠PRS= 40°.若∠RPS=θ.PQ=α,PS=β，则4αβsinθ属于下列哪个区间【】

试作一正方形，与一已知长方形之面积相等.

求作一四角形，与一已知四角形等角而外切于一定圆.

设R为三角形之外接圆半径，试证 acosA+bcosB+ccosC = 4RsinAsinBsinC.

设ABCD为一平行四边形，AC为对角线，由B作任意直线各交AC、CD及AD于F、G及E，求证EF·FG=BF².