高中数学-竞赛试题(国际数学奥林匹克 2024年数列与推理)

证明题（2024年国际数学奥林匹克）

设a₁,a₂,a₃,⋯是一个无穷项的正整数序列，且N是一下正整数.已知对任意整数n>N,a_n等于a_n-1在a₁,a₂,⋯,a_n-1中出现的次数.

证明：序列a₁,a₃,a₅,⋯与序列a₂,a₄,a₆,⋯两者至少有一个是最终周期的.

(一个无穷项的序列b₁,b₂,b₃,⋯称为最终周期的，如果存在正整数p和M使得b_m+p=b_m对所有整数m≥M均成立)

答案解析

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讨论

高中数学

求所有正整数对(a,b)满足：存在正整数g和N使得gcd⁡(an+b,bn+a)=g对所有整数n≥N均成立.(注：gcd⁡(x,y)表示x与y的最大公约数).

求所有实数α满足：对任意正整数n，整数⌊α⌋+⌊2α⌋+⋯+⌊nα⌋均为n的倍数.(注：⌊z⌋表示小于等于z的最大整数.例如，⌊-π⌋=-4,⌊2⌋=⌊2.9⌋=2)

设函数f(x)=xlnx.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若f(x)≥a(x-√x)在x∈(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；(3)若x1,x2∈(0,1)，证明：|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2 |1/2.

已知数列{an}是公比大于0的等比数列，其前n项和为Sn，且a1=1,S2=a3-1.(1)求数列{an}的前n项和Sn；(2)设bn=,b1=1，其中k是大于1的正整数.(ⅰ)当n=ak+1时，求证：bn-1≥a_k∙b_k；(ⅱ)求∑i=1Snbi .

已知椭圆x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)的离心率为e=1/2，左顶点为A，下顶点为B,C是线段OB的中点，S△ABC=3√3/2.(1)求椭圆的方程；(2)过点(0,-3/2)的动直线与椭圆有两个交点P,Q，在y轴上是否存在点T使得(TP)⋅(TQ)≤0恒成立？若存在，求出T点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

已知四棱柱ABCD-A1 B1 C1 D1中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,AA1⊥平面ABCD,AD⊥AB，其中AB=AA1=2,AD=DC=1,N是B1 C1的中点，M是DD1的中点.(1)求证：D1 N∥平面CB1 M；(2)求平面CB1 M与平面BB1 CC1的夹角的余弦值；(3)求点B到平面CB1 M的距离.

在△ABC中，cosB=9/16,b=5,a/c=2/3.(1)求a;(2)求sinA;(3)求cos⁡(B-2A).

若函数f(x)=2√(x²-ax)-|ax-2|+1有唯一零点，则a的取值范围是________.

在边长为1的正方形ABCD中，E为CD的三等分点，CE=1/2 DE,BE=λBA+μBC，则λ+μ=______；若F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则AF∙DG的最小值为______.

设有A,B,C,D,E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.(1)甲选到A的概率为______；(2)已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为______.

数列

记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7,3a2+a5=5，则S10=________.

用f(n)表示整数n的二进制中数码“1”占所有数码的比例，例如21=(10101)2，则f(21)=3/5.(1)是否存在由21个不超过2024的正整数构成的非常值等差数列a1,a2,⋯,a21，使得f(a1)=f(a2)=⋯=f(a21)？证明你的结论.(2)是否存在无穷多个正整数m，使得f(m²)>7/10？证明你的结论.

已知双曲线C:x²-y²=m(m>0).点P1 (5,4)在C上，k为常数，0<k<1.按照如下方式依次构造点Pn (n=2,3,⋯)，过点Pn-1作斜率为k的直线与C的左支交点Qn-1，令Pn为Qn-1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为(xn,yn).(1)若k=1/2，求x2,y2.(2)证明：数列{xn-yn}为公比为(1+k)/(1-k)的等比数列.(3)设Sn为△Pn Pn+1 Pn+2的面积，证明：对任意的正整数n,Sn=Sn+1.

记Sn为等差数列{an}的前n项和. 已知S5=S10,a5=1，则a1=【】

记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3an+4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=(-1)n nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=1，则a3+a7=【】

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1-3.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{Sn}的通项公式.

设{an}与{bn}是两个不同的无穷数列，且都不是常数数列，记集合M={k|ak=bk,k∈N*}，给出下列4个结论：①若{an}与{bn}均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若{an}与{bn}均为等比数列，则M中最多有3个元素；③若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则M中最多有3个元素；④若{an}为递增数列，{bn}为递减数列，则M中最多有1个元素.其中正确结论的序号是________.

设集合M={(i,j,s,t)|i∈{1,2},j∈{3,4},s∈{5,6},t∈{7,8},2|(i+j+s+t)}.对于给定的有穷序列A:{a_n}(1≤n≤8)，及序列Ω:ω1,ω2,⋯,ωs,ω_k=(i_k,j_k,s_k,t_k )∈M，定义变换T:将数列A的第i1,j1,s1,t1项加1，得到数列T1 (A)；将数列T1 (A)的第i2,j2,s2,t2项加1，得到数列T2 T1 (A),⋯；重复上述操作，得到数列Ts⋯T2 T1 (A)，记为Ω(A).(1)给定数列A:1,3,2,4,3,1,9和序列Ω:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)，写出Q(A)；(2)是否存在序列Ω，使得Ω(A)为a1+2,a2+6,a3+4,a4+2,a5+8,a6+2,a7+4,a8+4，若存在，写出一个符合条件的Ω，若不存在，说明理由；(3)若数列A的各项均为正整数，且a1+a3+a5+a7为偶数，证明：“存在序列Ω，使得Ω(A)为常数列”的充要条件为“a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8”.

等比数列{an}的首项a1>0，公比q>1，记In={x-y│x,y∈[a1,a2 ]∪[an,an+1 ] }，若对任意正整数n,In是闭区间，则q的取值范围是________.

数列与推理

某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm, 10dm×6dm,24dm×3dm,三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n次,那么 Sk=________dm2.

已知数列{an}满足a1=1,an+1=(1)记bn=a2n，写出b1,b2，并求数列{bn}的通项公式；(2)求{an}的前20项和.

数列{an}是递增的整数数列，且a1≥3,a1+a2+⋯+an=100，则n的最大值为【】

定义Rp数列{an}：对p∈R满足：①a1+p≥0,a2+p=0；②∀n∈N*,a4n-1<a4n；③∀m,n∈N*,am+n∈{am+an+p,am+an+p+1}.(1)对前4项2,-2,0,1的数列，可以是R2数列吗？说明理由；(2)若{an}是R0数列，求a5的值；(3)是否存在p∈R,使得存在Rp数列{an}，对∀n∈N*满足Sn≥S10?若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由.

已知ai∈N* (i=1,2,…,9)对任意的k∈N* (2≤k≤8),ak=ak-1+1或ak=ak+1-1中有且仅有一个成立，a1=6,a9=9，则a1+⋯+a9的最小值为__________.

已知{an}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，{bn}是公比大于0的等比数列，b1=4,b3-b2=48.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记cn=b2n+1/bn ,n∈N*(i)证明{cn2-c2n}是等比数列；(ii)证明<2√2.

已知数列{an}满足a1=1,an+1= (n∈N* ).记{an}的前n项和为Sn，则【】

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-9/4，且4Sn+1=3Sn-9.(1)求数列{an}的通项；(2)设数列{bn}满足3bn+(n-4) an=0，记{bn}的前n项和为Tn，若Tn<λbn对任意n∈N*恒成立，求λ的范围.

嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1=1+ ，b2=1+，b3=1+，…，依此类推，其中αk∈N* (k=1,2,⋯)．则【】

己知数列{an}各项均为正数，其前n项和Sn满足an⋅Sn=9(n=1,2,⋯)．给出下列四个结论：①{an}的第2项小于3； ②{an}为等比数列；③{an}为递减数列； ④{an}中存在小于1/100的项．其中所有正确结论的序号是__________．