高中数学-竞赛试题(国际数学奥林匹克 2024年数论)

问答题（2024年国际数学奥林匹克）

求所有正整数对(a,b)满足：存在正整数g和N使得

gcd⁡(aⁿ+b,bⁿ+a)=g

对所有整数n≥N均成立.(注：gcd⁡(x,y)表示x与y的最大公约数).

答案解析

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讨论

高中数学

求所有实数α满足：对任意正整数n，整数⌊α⌋+⌊2α⌋+⋯+⌊nα⌋均为n的倍数.(注：⌊z⌋表示小于等于z的最大整数.例如，⌊-π⌋=-4,⌊2⌋=⌊2.9⌋=2)

设函数f(x)=xlnx.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若f(x)≥a(x-√x)在x∈(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；(3)若x1,x2∈(0,1)，证明：|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2 |1/2.

已知数列{an}是公比大于0的等比数列，其前n项和为Sn，且a1=1,S2=a3-1.(1)求数列{an}的前n项和Sn；(2)设bn=,b1=1，其中k是大于1的正整数.(ⅰ)当n=ak+1时，求证：bn-1≥a_k∙b_k；(ⅱ)求∑i=1Snbi .

已知椭圆x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)的离心率为e=1/2，左顶点为A，下顶点为B,C是线段OB的中点，S△ABC=3√3/2.(1)求椭圆的方程；(2)过点(0,-3/2)的动直线与椭圆有两个交点P,Q，在y轴上是否存在点T使得(TP)⋅(TQ)≤0恒成立？若存在，求出T点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

已知四棱柱ABCD-A1 B1 C1 D1中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,AA1⊥平面ABCD,AD⊥AB，其中AB=AA1=2,AD=DC=1,N是B1 C1的中点，M是DD1的中点.(1)求证：D1 N∥平面CB1 M；(2)求平面CB1 M与平面BB1 CC1的夹角的余弦值；(3)求点B到平面CB1 M的距离.

在△ABC中，cosB=9/16,b=5,a/c=2/3.(1)求a;(2)求sinA;(3)求cos⁡(B-2A).

若函数f(x)=2√(x²-ax)-|ax-2|+1有唯一零点，则a的取值范围是________.

在边长为1的正方形ABCD中，E为CD的三等分点，CE=1/2 DE,BE=λBA+μBC，则λ+μ=______；若F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则AF∙DG的最小值为______.

设有A,B,C,D,E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.(1)甲选到A的概率为______；(2)已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为______.

已知(x-1)²+y²=25的圆心与抛物线y²=2px(p>0)的焦点重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为______.

数论

证明：任意正整数的平方均可表示为((a-b)²+(b-c)²+(c-a)²)/(2(ab+bc+ca))的形式，其中a,b,c为正整数.

设a正整数，fa (x)=x4+ax²+1.定义集合Pa={p|p为素数，且存在正整数k使得fa (2k)是p的倍数}(1)证明：对任意正整数a,Pa为无限集；(2)若Pa的任意两个元素之差是8的倍数，求正整数a的最小值.

Fix integers a and b greater than 1. For any positive integer n, let rn be the (non-negative) remainder that bn leaves upon division by an. Assume there exists a positive integer N such that rn<2n/n for all integers n≥N.Prove that a divides b.给定大于1的整数a和b.对任意的正整数n，记rn为bn除以an的非负余数.若存在正整数N，使得对任意的n≥N，都有rn<2n/n.证明：a整除b.

Determine all composite integers n>1 that satisfy the following property：if d1,d2,⋯,dk are all the positive divisors of n with 1=d1<d2<⋯<dk=n, then di divides di+1+di+2 for every 1≤i≤k-2.译文：设1=d1<d2<⋯<dk=n是合数n的全部正因数，若对任意1≤i≤k-2，有di |di+1+di+2，求n.

有一个二位数,其数字之和为 14，若将其二数字之位置交换，则所得之数较之原数大 18，求原数.

今有三数，其和为 37，积为 1440，且其中二数的积较第三数的三倍大 12.试求此三数.

使得n²+2023n为平方数的正整数n的最小值是__________.

已知a,b为正整数，a<b，且a,b互质.若关于x,y的不等式ax+by≤ab有且仅有2023组正整数解，则(a,b)=____________________(求出满足题意的所有可能数组).

求所有不超过100的正整数k，使得存在整数n，满足：k|(3n6+26n4+33n2+1)

设有理数r=p/q∈(0,1)，其中p,q为互素的正整数，且pq整除3600.这样的有理数r的个数为________.

数系与复数

已知z=-1-i，则|z|=【】

设z=5+i，则i(z ̅+z)=【】

设z=√2 i，则z∙z ̅=【】

已知z/i=i-1，则z=【】

已知虚数z，其实部为1，且z+2/z=m(m∈R)，则实数m为______.

已知i是虚数单位，复数(√5+i)⋅(√5-2i)=________.

设复数ω = cos(2π/5) + isin(2π/5)，则ω + ω2 + ω3 + ω4 + ω5的值是________.

复平面上点A,B对应的复数分别为z1=2,z2=-3，点P对应的复数为z,(z-z1)/(z-z2 )的辐角主值为φ.当点P在以原点为圆心，1为半径的上半圆周（不包括两个端点）上运动时，求φ的最小值.

已知z1,z2是两个给定的复数，且z1≠z2，它们在复平面上分别对应于点Z1和点Z2.如果z满足方程|z-z1|-|z-z2|=0,那么z对应的点Z的集合是【】

设复数z1 = 2 - i，z2 = 1 - 3i，则复数i/z1 + z2/5的虚部等于______.