高中数学-高考试题(北京市 2024年复数的运算)

单项选择（2024年北京市）

已知z/i=i-1，则z=【】

A、1-i

B、-i

C、-1-i

D、1

答案解析

C

【解析】

z=i(i-1)=-1-i

讨论

高中数学

已知集合M={x│-4<x≤1},N={x|-1<x<3}，则M∪N=【】

已知函数f(x)=a(x-1)-lnx+1.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a≤2，证明：当x>1时，f(x)<ex-1恒成立.

如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等边梯形，EF∥AD,BC∥AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=√10,FB=2√3, M为AD的中点.(1)证明：BM∥平面CDE;(2)求点M到ABF的距离.

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1-3.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{Sn}的通项公式.

曲线y=x³-3x与y=-(x-1)²+a在(0,+∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为 ______.

已知直线ax+y+2-a与圆C:x²+y²+4y-1=0交于A,B两点，则|AB|的最小值为【】

函数f(x)=sinx-√3 cosx在[0,π]上的最大值是______.

曲线f(x)=x6+3x-1在(0,-1)处的切线与坐标轴围成的面积为【】

甲、乙、丙丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是【】

等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=1，则a3+a7=【】

复数的运算

设z=5+i，则i(z ̅+z)=【】

设z=√2 i，则z∙z ̅=【】

设z是虚部不为零的复数.若(2+3z+4z2)/(2-3z+4z2)是实数，则|z|2的值为__________.

在复数范围内，方程z ̅-z2=i(z ̅+z2)的解的个数为__________.

已知ω=(-1-i)/2，求ω2+ω+1的值.

设复数z1和z2满足关系式=0，其中A为不等于0的复数.证明：(1)| z1+A||z2+A|=|A|2;(2) =||.

设a≥0，在复数集C中解方程z2+2|z|=a.

已知复数z=/2 - 1/2 i,ω=/2+/2 i.复数,z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P,Q.证明△OPQ是在等腰直角三角形（其中O为原点）.

复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是【】

设复数z=3cosθ+i∙sinθ.求函数y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.

数系与复数

已知z=-1-i，则|z|=【】

证明：任意正整数的平方均可表示为((a-b)²+(b-c)²+(c-a)²)/(2(ab+bc+ca))的形式，其中a,b,c为正整数.

设a正整数，fa (x)=x4+ax²+1.定义集合Pa={p|p为素数，且存在正整数k使得fa (2k)是p的倍数}(1)证明：对任意正整数a,Pa为无限集；(2)若Pa的任意两个元素之差是8的倍数，求正整数a的最小值.

使得n²+2023n为平方数的正整数n的最小值是__________.

已知a,b为正整数，a<b，且a,b互质.若关于x,y的不等式ax+by≤ab有且仅有2023组正整数解，则(a,b)=____________________(求出满足题意的所有可能数组).

求所有不超过100的正整数k，使得存在整数n，满足：k|(3n6+26n4+33n2+1)

设有理数r=p/q∈(0,1)，其中p,q为互素的正整数，且pq整除3600.这样的有理数r的个数为________.

给定正整数k(k≥2)与k个非零实数a1,a2,⋯,ak.证明：至多有有限个k元整数组(n1,n2,⋯,nk)，满足n1,n2,⋯,nk互不相同，且a1∙n1 !+a2∙n2 !+⋯+ak∙nk !=0.

设整数n≥4.证明：若n整除2n-2，则(2n-2)/n是合数.

In the sequence 7,76,769,7692,76923,769230,… ,the nth term is given by the first n digits after the decimal point in the expansion of 10/13=0.7692307692⋯.Prove that of the first 60 terms of the sequence, at least 49 have three or more prime factors (repeated prime factors are allowed; for example, 76=2×2×19 has three prime factors).【译】在10/13=0.7692307692⋯的十进制表示中，由小数点后的前n位数构成数列：7,76,769,7692,76923,769230,… ,求证：在该数列的前60项中，至少有49项有三个或以上的素因子(包含重复的素因子，例如76=2×2×19有三个素因子).