高中数学-高考试题(全国甲·文 2024年空间平面及关系)

问答题（2024年全国甲·文）

如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等边梯形，EF∥AD,BC∥AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=√10,FB=2√3, M为AD的中点.

(1)证明：BM∥平面CDE;

(2)求点M到ABF的距离.

答案解析

解答过程见word版

讨论

高中数学

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1-3.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{Sn}的通项公式.

曲线y=x³-3x与y=-(x-1)²+a在(0,+∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为 ______.

已知直线ax+y+2-a与圆C:x²+y²+4y-1=0交于A,B两点，则|AB|的最小值为【】

函数f(x)=sinx-√3 cosx在[0,π]上的最大值是______.

曲线f(x)=x6+3x-1在(0,-1)处的切线与坐标轴围成的面积为【】

甲、乙、丙丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是【】

等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=1，则a3+a7=【】

设z=√2 i，则z∙z ̅=【】

集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A}，则A∩B=【】

实数a,b满足a+b≥3.(1)证明：2a²+2b²>a+b;(2)证明：|a-2b² |+|b-2a² |≥6.

空间解析几何

如图，平面四边形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=5√3,∠ADC=90°,∠BAD=30°，点E,F满足(AE)→=2/5 (AD)→,(AF)→=1/2 (AB)→.将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC=4√3.(1)证明：EF⊥PD;(2)求面PCD与面PBF所成二面角的正弦值.

如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等边梯形，EF∥AD,BC∥AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=√10,FB=2√3, M为AD的中点.(1)证明：BM∥平面CDE;(2)求二面角F-BM-E的正弦值.

如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线,OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为【】

如图，以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中Ox//BC,Oy//AB,E为VC中点，正四棱锥底面长为2a，高为h. （Ⅰ）求cos⁡⟨,⟩；（Ⅱ）记面BVC为α，面DVC为β，若∠BED是二面角α-VC-β的平面角，求∠BED.

如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=a,=b,=c，则下列向量中与相等的向量是【】

设点Q关于平面r➝=-(t+p) i➝+tj➝+(1+p)k➝的对称点为S，其中t,p为实数，i➝,j➝,k➝分别为空间坐标系坐标轴正方向的三个单位向量，若点Q与S的位置矢量分别为10i➝+15j➝+20k➝与αi➝+βj➝+γk➝，则以下说法正确的是【】

Find the equation of the sphere which passes through (1,5,-3),(-3,0,0) which center on the 3x+y+z=0,x+2y +1 = 0.

Find the equation of the ruled surface whose generators are the system of the lines x-2y =4kx,k(x-2y)=4 and discuss the surface.

如图，已知二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的一点（它不在棱AB上），点D是点C在平面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，那么【】.

设点P在有向线段的延长线上，P分所成的比为λ，则【】

空间平面及关系

如图，平面α,β相交于直线MN，点A在平面α上，点B在平面β上，点C在直线MN上，∠ACM=∠BCN=45°，A-MN-B是60°的二面角，AC=1. 求：(1) 点A到平面β的距离；(2) 二面角A-BC-M的大小（用反三角函数表示）.

如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°. (Ⅰ)证明：C1C⊥BD.(Ⅱ)假设CD=2,CC1=3/2,记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角a-BD-β的平面角的余弦值.(Ⅲ)当CD/CC1 的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.

一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜; ②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1,P2,P3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则【】

2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m)，三角高程测量法是珠穆高峰测量法之一，下图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A,B,C在同水平面上的投影A',B',C'满足∠A' C' B'=45°,∠A' B'C'=60°，由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100，由B点测得A点的仰角为45°，则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732)【】

已知正方体ABCD-A1 B1 C1 D1,点E为A1 D1的中点，直线B1 C1交平面CDE于点F. (1)求证：点F为B1 C1的中点；(2)若点M为棱A1 B1上一点，且二面角M-CF-E的余弦值为/3，求A1 M/A1B1 .

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1 B1 C1 D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点.(1)求证：D1 F//平面A1 EC1；(2)求直线AC1与平面A1 EC1所成角的正弦值；(3)求二面角A-A1 C1-E的正弦值.

如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB=BC=2，M，N分别为A1B1，AC的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：AB⊥MN；条件②：BM=MN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC，DC//EF，AB=5，DC=3，EF=1，∠BAD=∠CDE=60°，二面角F-DC-B的平面角为60°．设M，N分别为AE,BC的中点．（1）证明：FN⊥AD；（2）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°.侧棱AA1=2，D,E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.(I)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示);(Ⅱ)求点A1到平面AED的距离.