高中数学-高考试题(全国甲·文 2024年三角恒等变换)

填空题（2024年全国甲·文）

函数f(x)=sinx-√3 cosx在[0,π]上的最大值是______.

答案解析

2

【解析】

∵f(x)=sinx-√3 cosx=2 sin⁡(x-π/3)

∴当x-π/3=π/2，即x=5π/6时，f(x)_max=2.

讨论

高中数学

曲线f(x)=x6+3x-1在(0,-1)处的切线与坐标轴围成的面积为【】

甲、乙、丙丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是【】

等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=1，则a3+a7=【】

设z=√2 i，则z∙z ̅=【】

集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A}，则A∩B=【】

实数a,b满足a+b≥3.(1)证明：2a²+2b²>a+b;(2)证明：|a-2b² |+|b-2a² |≥6.

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcosθ+1.(1)写出C的直角坐标方程；(2)设直线l:(t为参数)，若C与l相交于A,B两点，且|AB|=2，求a.

已知函数f(x)=(1-ax) ln⁡(1+x)-x.(1)若a=-2，求f(x)的极值；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.

设椭圆C:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)的右焦点为F，点M(1,3/2)在C上，且MF⊥x轴.(1)求C的方程；(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴.

如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等边梯形，EF∥AD,BC∥AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=√10,FB=2√3, M为AD的中点.(1)证明：BM∥平面CDE;(2)求二面角F-BM-E的正弦值.

三角恒等变换

已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4,tanαtanβ=√2+1，则sin⁡(α+β)=______.

若函数f(x)=Asin⁡x-√3cos⁡x的一个零点为π/3，则A=________；f(π/12)=________．

若3sin⁡α-sin⁡β=√10,α+β=π/2，则sin⁡α=__________，cos⁡2β=_________．

函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为【】

证明：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

证明：cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB.

试证(cosA+sinA)/(cosA-sinA)=tan2A+sec2A.

试证 (tana+tanb)/(tana-tanb)=sin⁡(a+b)/sin⁡(a-b).

设A,B,C 为一三角形之三角，试证 sin²A+sin²B+sin²C = 2+2cosAcosBcosC.

求证 sin⁡(x+y)/sin⁡(x-y)=(tanx+tany)/(tanx-tany)

三角函数

对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin⁡(2x-π/4)，下列正确的有【】

求方程(√3+2sin2x)/(√3+2sinx)=√3 sinx+cos2x/2cosx在(0,π/2)内的解.

设m,n为正整数且m≤n，证明：≤m/n

已知cosα/(cosα-sinα)=√3，则tan⁡(α+π/4)=【】

使arcsinx>arccosx成立的x的取值范围是【】

若sin2x>cos2x，则x的取值范围是【】

若0<α<π/2，则acrsin⁡[cos⁡(π/2+a) ]+arccos⁡[sin⁡(π+α) ]等于【】

函数y=tan⁡(1/2 x - 1/3 π)在一个周期内的图像是【】

满足arccos⁡(1-x)≥arccos的x的取值范围是【】

函数y=cos2⁡x - 3cos⁡x + 2的最小值为【】