证明:存在正常数c具有卜述性质:对任意整数n>1,以及平面上n个点的集合 S ,若 S中任意两点之间的距离不小于 1 ,则存在一条分离 S 的直线l , 使得 S 中的每个点到直线的距离不小于cn-1/3 . (我们称直线l分离点集 S , 如果某条以S中两点为端点的线段与l相交.)
注.如果证明了比cn-1/3 弱的估计cn-α ,会根据α>1/3 的值,适当给分.
(中国台湾供题)
证明:存在正常数c具有卜述性质:对任意整数n>1,以及平面上n个点的集合 S ,若 S中任意两点之间的距离不小于 1 ,则存在一条分离 S 的直线l , 使得 S 中的每个点到直线的距离不小于cn-1/3 . (我们称直线l分离点集 S , 如果某条以S中两点为端点的线段与l相交.)
注.如果证明了比cn-1/3 弱的估计cn-α ,会根据α>1/3 的值,适当给分.
(中国台湾供题)
我们证明c=1/16满足要求.记δ=cn-1/3.对平面上有限点集S以及直线 l ,记δ(S,l)为 S 中点到l距离的最小值.反证法,假设结论不成立,则存在平面上n个点的集合S,n≥2,使得对任意分离 S 的直线l,均有δ(S,l)<δ.取 S 中距离最大的两点A,B,设d=|AB|,显然,d≥1.以A为原点,为x轴正方向,建立直角坐标系.设 S 中点的横坐标从小到大依次为 d1≤d2≤⋯≤dn,由于 S 中所有点落在下面两个闭圆盘D_A、和 D_B 的交集中,DA={P∈R2:|PA|≤d} , DB={P∈R2:|PB|≤d}S中所有点的横坐标都在区间[0,d]中,因此 d1=0 ,dn=d. 若存在1≤i≤n-1,使得di+1-di≥2δ,则直线 l:(di+di+1)/2分离 S ,且 δ(S,l)≥δ,与反证法假设矛盾.所以对任意1≤i≤n-1,均有di...
查看完整答案设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足∁UM={1,3},则【 】
集合M={2,4,6,8,10},N={x|-1<x<6},则M∩N=【 】
已知全集U={ x|-3<x<3},集合A={ x|-2<x≤1},则∁UA=【 】
已知集合 A = {(x, y) | x, y ∈ N∗, y ⩾ x} , B = {(x, y) | x + y = 8 }, 则 A ∩ B 中元素的个数为【 】
某中学的学生积极参加体育锻炼, 其中有 96% 的学生喜欢足球或游泳, 60% 的学生喜欢足球, 82% 的学生喜欢游泳, 则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是【 】
已知集合 A = {−1, 0, 1, 2}, B = {x | 0 < x < 3}, 则 A ∩ B =【 】
已知 A = {1, 2, 4}, B = {2, 4, 5}, 则 A ∩ B =__________.
已知集合 P = {x | 1 < x < 4}, Q = {x | 2 < x < 3}, 则 P ∩ Q =【 】
设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=【 】
设整数m≥2.设集合A由有限个整数(不一定为正)构成,且B1,B2,…,Bm是A的子集.假设对任意k=1,2,…,m,Bk中所有元素之和为mk.证明:A包含至少m/2个元素.
设a,b是正整数,证明:在区间[b2/(a2+ab),b2/(a2+ab-1))上不存在正整数.
S是集合{1,2,…,2023}的子集,满足任意两个元素的平方和不是9的倍数,则|S|的最大值是______(这里|S|表示S的元素个数).
若集合A={1,2,m},其中m为实数.令B={a²|a∈A},C=A∪B.若C的所有元素之和为6,则C的所有元素之积为________.
求具有下述性质的最小正数c:对任意整数n≥4以及集合A⊆{1,2,⋯,n},若|A|>cn,则存在函数f:A→{1,-1},满足|∑a∈Af(a)∙a|≤1