问答题(2021年全国高中数学联赛

求具有下述性质的最小正数c:对任意整数n≥4以及集合A⊆{1,2,⋯,n},若|A|>cn,则存在函数f:A→{1,-1},满足

|∑a∈Af(a)∙a|≤1

答案解析

解答过程见word版

讨论

设整数n≥4.证明:若n整除2n-2,则(2n-2)/n是合数.

如图所示,在△BC中,M是边AC的中点,D,E是△ABC的外接圆在点A处的切线上的两点,满足MD//AB,且A是线段DE的中点,过A,B,E三点的圆与边AC相交于另一点P,过A,D,P三点的圆与DM的延长线相交于点Q.证明:∠BCQ=∠BAC.

给定正整数k(k≥2)与k个非零实数a1,a2,⋯,ak.证明:至多有有限个k元整数组(n1,n2,⋯,nk),满足n1,n2,⋯,nk互不相同,且a1∙n1 !+a2∙n2 !+⋯+ak∙nk !=0.

如图,正方体ABCD-EFGH的棱长为2,在正方形ABEF的内切圆上任取一点P1,在正方形BCGF的内切圆上任取一点P2,在正方形EFGH的内切圆上任取一点P3,求|P1 P2 |+|P2 P3 |+|P3 P1 |的最小值与最大值.

在平面直角坐标系中,函数y=(x+1)/(|x|+1)的图像上有三个不同的点位于直线l上,且这三个点的横坐标之和为0.求l的斜率的取值范围.

已知复数列{zn}满足:z1=√3/2,zn+1=zn ̅(1+zni)(n=1,2,⋯)其中i为虚单位.求z2021的值.

设有理数r=p/q∈(0,1),其中p,q为互素的正整数,且pq整除3600.这样的有理数r的个数为________.

一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.随机抛掷该骰子三次(各次抛掷结果相互独立),所得的点数依次为a1,a2,a3,则事件|a1-a2 |+|a2-a3 |+|a3-a1 |=6发生的概率为__________.

在平面直角坐标系xOy中,抛物线Γ:x²=2px(p>0)的焦点为F,过Γ上一点P(异于O)作Γ的切线,与y轴交于点Q.若|FP|=2,|FQ|=1,则向量OP→与OQ→的数量积为__________.

在△ABC中,AB=1,AC=2,B-C=2π/3,则△ABC的面积为__________.

对任意一个非零复数z,定义集合Mz={ω|ω=z2n-1,n∈N}.(Ⅰ)设α是方程x+1/x=的一个根,试用列举法表示集合Mα,若在Mα中任取两位数,求其和为零的概率P;(Ⅱ)设复数ω∈Mz,求证Mω⊆Mz.

设整数m≥2.设集合A由有限个整数(不一定为正)构成,且B1,B2,…,Bm是A的子集.假设对任意k=1,2,…,m,Bk中所有元素之和为mk.证明:A包含至少m/2个元素.

Find all the groups of positive integers (a,b,p) satisfying p is a prime number and ap=b!+p.译文:求所有正整数组(a,b,p),满足:p为素数且ap=b!+p.

设a,b是正整数,证明:在区间[b2/(a2+ab),b2/(a2+ab-1))上不存在正整数.

323 与 221 之最大公约数为______.

S是集合{1,2,…,2023}的子集,满足任意两个元素的平方和不是9的倍数,则|S|的最大值是______(这里|S|表示S的元素个数).

某校举办数学文化节,据统计当天共有980多(不少于980,小于990)名同学进校参观,每位同学进校参观一段时间后离开(之后不会再进来).若无论这些同学以怎样的时间安排参观,我们都能找到k位同学,使得要么这k位同学在某个时间都在校园内参观,要么任何时间他们中都没有两个人同时在校园内参观.求k的最大值.

若集合A={1,2,m},其中m为实数.令B={a²|a∈A},C=A∪B.若C的所有元素之和为6,则C的所有元素之积为________.

Given a positive integer n, a set S is n-admissible if①each element of S is an unordered triple of integers in {1,2,⋯,n},②|S|=n-2,and③for each 1≤k≤n-2 and each choice of k distinct A1,A2,⋯,Ak∈S,|A1∪A2∪⋯∪Ak |≥k+2Is it true that, for all n>3 and for each n-admissible set S, there exist pairwise distinct points P1,P2,⋯,Pn in the plane such that the angles of the triangle Pi Pj Pk are all less than 61° for any triple {i,j,k} in S?【译】给定正整数n,称集合S是n-可行,如果其满足以下条件:①S的每个元素都是{1,2,⋯,n}的三元子集;②|S|=n-2;③对任意的1≤k≤n-2和任意k个互不相同的A1,A2,⋯,Ak∈S,都有|A1∪A2∪⋯∪Ak |≥k+2判断以下命题是否为真:对所有n>3和所有的n-可行集合S,在平面内总存在n个互不相同的点P1,P2,⋯,Pn,使得对集合S中任意元素{i,j,k},三角形Pi Pj Pk的每个内角都小于61°.

已知△ABC,若对任意t∈R,|(BA)→-t(BC)→ |≥|(AC)→|,则△ABC一定为【 】。