高中数学-高考试题(上海市 2001年元素与集合)

问答题（2001年上海市）

对任意一个非零复数z，定义集合M_z={ω|ω=z^2n-1,n∈N}.

（Ⅰ）设α是方程x+1/x=的一个根，试用列举法表示集合M_α，若在M_α中任取两位数，求其和为零的概率P；

（Ⅱ）设复数ω∈M_z，求证M_ω⊆M_z.

答案解析

（Ⅰ）∵α是方程x2- x+1=0的根，∴α1=/2 (1+i)或α2=/2 (1-i).当α1=/2 (1+i)时，∵=i,=( )n/α1 =in/α1 ,∴={i/α1 ,(-1)/α1 ,(-i)/α1 ,1/α1 }={/2 (1+i),-/2 (1-i),-/2 (1+i),/2 (1-i)}.当α2=/2 (1-i)时，∵=-i，∴={(-i)/α2 ,(-1)/...

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讨论

二项分布

已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(2<X≤2.5)=0.36，则P(X>2.5)= ____________．

连续型随机变量X的取值范围为0≤X≤a,X的概率密度函数图像如下所示：若P(X≤b)-P(X≥b)=1/4,P(x≤√5)=1/2，则a+b+c的值为【】

袋中装有1个写有数字1的白球、1个写有数字2的白球、1个写有数字1的黑球和3个写有数字2的黑球。一次性从袋中随机取出3个球，记“取出的是1个白球、2个黑球”为事件A，“3个球上数字的乘积为8”为事件B，则P(A∪B)为【】

某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?并说明理由。

在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A,B两点,则|AB|=________.

2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园.在下面的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入__________.

圆的半径是1，圆心极坐标是(1,0)，则这个圆的极坐标方程是【】

圆锥曲线的焦点坐标是________.

直线y=2x-1/2与曲线（φ为参数）的交点坐标是________.

已知直线 l 的解析式为 3x − 4y + 1 = 0, 则下列各式是 l 的参数方程的是【】

复数的运算

设a≥0，在复数集C中解方程z2+2|z|=a.

设{zn } (n≥1)是复数数列，奇数项为实数，偶数项为纯虚数，且∀k∈N+,|zkzk+1| = 2k，记fn=|z1 + z2 + ⋯ + zn |.(1) 求f2020的最小可能值；(2) 求f2020∙f2021的最小可能值.

设复数ω = cos(2π/5) + isin(2π/5)，则ω + ω2 + ω3 + ω4 + ω5的值是________.

设复数z1 = 2 - i，z2 = 1 - 3i，则复数i/z1 + z2/5的虚部等于______.

已知z∈C，解方程zz ̅ - 3iz ̅ = 1+3i.

当z=-(1-i)/时，z100 + z50 + 1的值等于【】

已知复数z1=i⁡(1-i)3.(Ⅰ)求argz1及|z1|；(Ⅱ)当复数z满足|z|=1，求|z - z1|的最大值.

若复数z=+ i，则arg 1/z等于______.

已知z=(1-i)/(2+2i)，则z-z ̅=【】

若 z = 1 +i，则|z2 −2z| =【】

元素与集合

Find all the groups of positive integers (a,b,p) satisfying p is a prime number and ap=b!+p.译文：求所有正整数组(a,b,p)，满足：p为素数且ap=b!+p.

若集合A={1,2,m}，其中m为实数.令B={a²|a∈A},C=A∪B.若C的所有元素之和为6，则C的所有元素之积为________.

某校举办数学文化节，据统计当天共有980多(不少于980,小于990)名同学进校参观，每位同学进校参观一段时间后离开(之后不会再进来).若无论这些同学以怎样的时间安排参观，我们都能找到k位同学，使得要么这k位同学在某个时间都在校园内参观，要么任何时间他们中都没有两个人同时在校园内参观.求k的最大值.

设整数m≥2.设集合A由有限个整数(不一定为正)构成,且B1,B2,…,Bm是A的子集.假设对任意k=1,2,…,m,Bk中所有元素之和为mk.证明：A包含至少m/2个元素.

S是集合{1,2,…,2023}的子集，满足任意两个元素的平方和不是9的倍数，则|S|的最大值是______(这里|S|表示S的元素个数).

323 与 221 之最大公约数为______.

设a,b是正整数，证明：在区间[b2/(a2+ab),b2/(a2+ab-1))上不存在正整数.

求具有下述性质的最小正数c：对任意整数n≥4以及集合A⊆{1,2,⋯,n}，若|A|>cn，则存在函数f:A→{1,-1}，满足|∑a∈Af(a)∙a|≤1

Given a positive integer n, a set S is n-admissible if①each element of S is an unordered triple of integers in {1,2,⋯,n},②|S|=n-2,and③for each 1≤k≤n-2 and each choice of k distinct A1,A2,⋯,Ak∈S,|A1∪A2∪⋯∪Ak |≥k+2Is it true that, for all n>3 and for each n-admissible set S, there exist pairwise distinct points P1,P2,⋯,Pn in the plane such that the angles of the triangle Pi Pj Pk are all less than 61° for any triple {i,j,k} in S?【译】给定正整数n，称集合S是n-可行,如果其满足以下条件：①S的每个元素都是{1,2,⋯,n}的三元子集；②|S|=n-2；③对任意的1≤k≤n-2和任意k个互不相同的A1,A2,⋯,Ak∈S，都有|A1∪A2∪⋯∪Ak |≥k+2判断以下命题是否为真：对所有n>3和所有的n-可行集合S，在平面内总存在n个互不相同的点P1,P2,⋯,Pn，使得对集合S中任意元素{i,j,k}，三角形Pi Pj Pk的每个内角都小于61°.

直线L的参数方程式(t∈R)，则 L的方向向量d可以是【】