高中数学-竞赛试题(国际数学奥林匹克 2022年7月元素与集合)

问答题（2022年7月国际数学奥林匹克）

Find all the groups of positive integers (a,b,p) satisfying p is a prime number and a^p=b!+p.

译文：

求所有正整数组(a,b,p)，满足：p为素数且a^p=b!+p.

答案解析

(1)若b<p，则(b!,p)=1，于是1~b中质数均不整除b!+p，从而a>b，于是ap-p≥(b+1)p-p>bp>b!，矛盾，故b≥p,p|(b!+p)，即p|a.又p>1，所以vp (b!)=1，从而b<2p.(2)若 a≠p，则(a/p)p pp-1=[1+(p-1)(p+1)⋯b]，从而(a/p,(p-1)!)=1，从而a/p≥p.但b!+p≤(2p-1)!+p<(2p∙1)(2p∙2)⋯[(p+1)(p-1)]<(p2 ...

查看完整答案

讨论

高中数学

Suppose a convex pentagon ABCDE such that BC=DE.If there exists a point T inside ABCDE suchthat TB=TD TC=TE and ∠ABT=∠TEA. AB meet CD and CT at point P and Q respectively, withP,B,A,Q in this order on the same line. AE meet CD and DT at point R and S respectively, with R,E,A,S in this order on the same line.Prove that P,S,Q,R are on the same circle.译文：设凸五边形ABCDE满足BC=DE.若在ABCDE内存在一点T使得TB=TD,TC=TE且∠ABT= ∠TEA.直线AB分别与直线CD和CT交于点P和Q，且P,B,A,Q在同一直线上按此顺序排列;直线AE分别与直线CD和DT交于点R和S，且R,E,A,S在同一直线上按此顺序排列.证明：P,S,Q,R 四点共圆.

Let k be a positive integer and let S be a finite set of odd prime numbers. Prove that there is at most one way (up to rotation and refection) to place the elements of S around a circle such that the product of any two neighbours is of the form x2+x+k for some positive integer x. 译文：给定正整数 k,S是一个由有限个奇素数构成的集合.证明：至多只有一种方式(旋转或对称后相同视为同种方式)可以将S中的元素排成一个圆周，且满足任意两个相邻元素的乘积均可以写成x2+x+k的形式 (其中x为正整数) .

Let R+ denote the set of positive real numbers. Find all functions f:R⟶R such that for each x∈R+, there is exactly one y∈R+ satisfying：xf(y)+yf(x)≤2.译文：设R+表示所有正实数构成的集合.求所有函数f:R+→R+，使得对任意x∈R+，恰好有一个y∈R+满足条件：xf(y)+yf(x)≤2.

The Bank of Oslo issues two types of coin：aluminium(denoted A) and bronze(denoted B). Marianne has n aluminium coins and n bronze coins, arranged in a row in some arbitrary initial order.A chain is any subsequence of consecutive coins of the same type.Given a fixed positive integer k<2n, Marianne repeatedly performs the following operation：she identifies the longest chain containing the kth coin from the left and moves all coins in that chain to the left end of the row.For example, if n = 4 and k=4 the process starting from the ordering AABBBABA would beAABBBABA→BBBAAABA→AAABBBBA→BBBBAAAA.Find all pairs (n, k) with 1 ≤ k ≤2n such that for every initial ordering at some moment during the process,the leftmost n coins will all be of the same type. 译文：奥斯陆银行发行了两种货币：铝币(记为A)和铜币(记为B).玛丽安有n枚铝币和n枚铜币，以任意初始方式排成一排。定义一条链为任意由相同类型货币构成的连续子列。给定正整数k<2n，玛丽安重复地进行如下操作：她找出包含(从左到右)第k枚硬币的最长链，然后把该链中所有货币移到序列最左端。例如，n=4，k=4时，对于初始序列 AABBBABA，过程如下：AABBBABA→BBBAAABA→AAABBBBA→BBBBAAAA.求所有满足1≤k≤2n的数组(n，k)，使得对任意初始序列，都可以在有限次操作内使左端为n枚相同的货币。

数列{an}中，a1=1,a2=3，若地任意n(n≥2)都存在正整数i(1≤i≤n-1)使得an+1=2an-ai.(1)求a4的所有可能值.(2)命题p：若a1,a2,a3,…,a8成等差数列，则a9<30，证明命题p为真；写出p的逆命题q，并判断q的真假，若命题q为真则证明，若命题q为假，请举出反例.(3)若对任意正整数m,a2m=3m，求数列{an}的通项公式.

已知Γ:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 (-√2,0),F2 (√2,0),A为Γ的下顶点，M为直线l:x+y-4√2=0上一点.(1)若a=2,AM的中点在x轴上，求点M的坐标；(2)直线l交y轴于点B，直线AM经过点F2，若△ABM有一个内角的余弦值为3/5，求b；(3)若椭圆Γ上存在点P到直线l的距离为d，且满足d+|PF1 |+|PF2 |=6，当a变化时，求d的最小值.

如图，AD=BC=6，AB=20，∠ABC=∠DAB=120°，O为AB中点，曲线CMD上所有的点到O的距离相等，MO⊥AB，P为曲线CM上的一动点，点Q与点P关于OM对称.(1)若P在点C的位置，求∠POB的大小; (2)求五边形MQABP面积的最大值.

已知f(x)=log3(x+a)+log3(6-x).若将函数y=f(x)的图像向下平移m(m>0)个单位，经过点(3,0),(5,0)，求a与m的值；若a>-3且a≠0，解关于x的不等式f(x)≤f(6-x).

如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC中点，PO⊥平面ABC，AP=AC=2.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角的大小.

已知平面直角坐标系中的点集Q={(x,y)|(x-k)2+(y-k2)2=4|k,k∈z}.①存在直线l与Q没有公共点，且Q中存在两点在l的两侧;②存在直线l经过Q中的无数个点则【】

元素与集合

对任意一个非零复数z，定义集合Mz={ω|ω=z2n-1,n∈N}.（Ⅰ）设α是方程x+1/x=的一个根，试用列举法表示集合Mα，若在Mα中任取两位数，求其和为零的概率P；（Ⅱ）设复数ω∈Mz，求证Mω⊆Mz.

设整数m≥2.设集合A由有限个整数(不一定为正)构成,且B1,B2,…,Bm是A的子集.假设对任意k=1,2,…,m,Bk中所有元素之和为mk.证明：A包含至少m/2个元素.

若集合A={1,2,m}，其中m为实数.令B={a²|a∈A},C=A∪B.若C的所有元素之和为6，则C的所有元素之积为________.

某校举办数学文化节，据统计当天共有980多(不少于980,小于990)名同学进校参观，每位同学进校参观一段时间后离开(之后不会再进来).若无论这些同学以怎样的时间安排参观，我们都能找到k位同学，使得要么这k位同学在某个时间都在校园内参观，要么任何时间他们中都没有两个人同时在校园内参观.求k的最大值.

S是集合{1,2,…,2023}的子集，满足任意两个元素的平方和不是9的倍数，则|S|的最大值是______(这里|S|表示S的元素个数).

323 与 221 之最大公约数为______.

设a,b是正整数，证明：在区间[b2/(a2+ab),b2/(a2+ab-1))上不存在正整数.

求具有下述性质的最小正数c：对任意整数n≥4以及集合A⊆{1,2,⋯,n}，若|A|>cn，则存在函数f:A→{1,-1}，满足|∑a∈Af(a)∙a|≤1

Given a positive integer n, a set S is n-admissible if①each element of S is an unordered triple of integers in {1,2,⋯,n},②|S|=n-2,and③for each 1≤k≤n-2 and each choice of k distinct A1,A2,⋯,Ak∈S,|A1∪A2∪⋯∪Ak |≥k+2Is it true that, for all n>3 and for each n-admissible set S, there exist pairwise distinct points P1,P2,⋯,Pn in the plane such that the angles of the triangle Pi Pj Pk are all less than 61° for any triple {i,j,k} in S?【译】给定正整数n，称集合S是n-可行,如果其满足以下条件：①S的每个元素都是{1,2,⋯,n}的三元子集；②|S|=n-2；③对任意的1≤k≤n-2和任意k个互不相同的A1,A2,⋯,Ak∈S，都有|A1∪A2∪⋯∪Ak |≥k+2判断以下命题是否为真：对所有n>3和所有的n-可行集合S，在平面内总存在n个互不相同的点P1,P2,⋯,Pn，使得对集合S中任意元素{i,j,k}，三角形Pi Pj Pk的每个内角都小于61°.

The real numbers a,b,c,d are such that a≥b≥c≥d>0 and a+b+c+d=1.Prove that (a+2b+3c+4d)aabbccdd<1.设实数a、b、c、d满足 a≥b≥c≥d>0 ，且 a+b+c+d=1 . 证明：(a+2b+3c+4d)aabbccdd<1.(比利时供题)

集合

已知集合S={s│s=2n+1,n∈Ζ},T={t|t=4n+1,n∈Ζ}，则S∩T=【】

数值X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是【】。

设S,T是两个非空集合，且S⊈T,T⊈S，令X=S∩T,那么S∪X=【】

集合{1,2,3}的子集总共有【】个

设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由个元素组成的子集数为T，则T/S的值为________.

已知全集I=N，集合A={x|x=2n,n∈N},B={x|x=4n,n∈N},则【】

集合M={2,4,6,8,10},N={x|-1<x<6}，则M∩N=【】

已知全集U={ x|-3<x<3}，集合A={ x|-2<x≤1}，则∁UA=【】

若集合A=[-1,2)，B=Z，则A∩B=【】

设集合 A ={x | x2 −4 ⩽ 0},B ={x | 2x + a ⩽ 0}, 且 A∩B ={x |−2 ⩽ x ⩽ 1}, 则 a =【】