高中数学-竞赛试题(全国高中数学联赛 2021年直线与方程)

问答题（2021年全国高中数学联赛）

在平面直角坐标系中，函数y=(x+1)/(|x|+1)的图像上有三个不同的点位于直线l上，且这三个点的横坐标之和为0.求l的斜率的取值范围.

答案解析

解答过程见word版

讨论

函数的图像

Draw the graph of the equation (1) y = x³ - x² - x + 1.Use the graph to locate the roots of the equation (2) x³ - x² - x + 1 = 0.Check by solving the equation algebraically.

讨论方程式y=(x²+2x+3)/(2x²+3x+4)并绘其轨迹.

Determine the graph of y = x² + x + 1. Find the coordinates of its vertex and the equation of its axis.

讨论y=1/x² 所表示的轨迹，并作其图.

试判别方程x²+2xy-8y²+2x+14y-3=0之图形的性质.

试讨论方程y=x(x²-1)之图形：i) 对于原点、x轴、y轴对称否.ii) 与x轴之交点如何? 并作图.

讨论方程(x²-1)²y-x³=0，并描其图.

设f(x)是定义R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0,1/2]，都有f(x1+x2 )=f(x1)f(x2)，且f(1)=a>0.(Ⅰ)求f(1/2)及f(1/4)；(Ⅱ)证明f(x)是周期函数；(Ⅲ)记an=f(2n+1/2n)，求(lnan).

函数y=-1/(x+1)的图像是【】

将y=2x的图像【】，再作关于直线y=x对称的图像,可得到函数y=log2⁡(x+1)的图像.

平面解析几何

已知双曲线C的中心坐标为原点，左焦点为(-2√5,0)，离心率为√5.(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2，过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上.

已知向量a→,b→满足a→+b→=(2,3),a→-b→=(-2,1)，则|a→ |²-|b→ |²=【】

已知抛物线C:y²=8x的焦点为F，点M在C上.若M到直线x=-3距离为5，则|MF|=【】

在△ABC中，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB)，则∠C=【】

已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0)，离心率为√2，则C的方程为____________.

已知椭圆E:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)的离心率为√3/5.设椭圆E的上、下顶点分别为A,C，左、右顶点分别为B,D,|AC|=4.(1)求椭圆E的方程；(2)点P在椭圆E的第一象限上运动，直线PD与直线BC交于点M，直线AP与直线y=-2交于点N.求证：MN//CD.

已知向量|a➝ |=1,|b➝ |=2，且a➝,b➝的夹角为120°.若a➝+tb➝与ta➝+b➝的夹角为锐角，则t的取值范围是__________.

已知在△ABC中，a=2b,cosB=2√2/3，则sin⁡(A-B)/2+sin⁡C/2=__________.

在△ABC中，AB=1,AC=2,B-C=2π/3，则△ABC的面积为__________.

在平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ:x²=2px(p>0)的焦点为F，过Γ上一点P(异于O)作Γ的切线，与y轴交于点Q.若|FP|=2,|FQ|=1，则向量OP→与OQ→的数量积为__________.

直线与方程

求与原点及直线x+4y=8等距离之点之轨迹方程式.

若l+m+n=0，试示方程式lx2+2nxy+my2+2mx+2ly+n=0表两直线.若此二直线与x轴交于A及B，与y轴交于C与D，试示AD,BC两直线之连合方程式为lx2+2lm/n xy+my2+2mx+2ly+n=0

求椭圆x²+5y²=5及圆(x+2)²+y²=5之实公切线之方程式.

求圆x²+y²=17之切线，使平行于直线x+4y=5.

A,B,C 为共线之三定点，动点 P 至A，B与 B，C 所张之角恒相等，试求 P 点之轨迹.

已知一圆及一直线，求作该圆之切线，使其自切点至该直线间之线段，等于已知长.

设有一三角形ABC：假定A及B两顶为固定不移，其他一C在AC²+BC²=2/5 AB²之条件下运动，则其轨迹为何如？

求已知圆 x²+y² - 6x +4y = 12 之两切方程式，与一已知线 4x + 3y +5=0平行.

Find the distance from the point (-1, -4) to the straight line which is drawn through (-2,6) and the perpendicular to the line joining (3,6) and (-5,-1).

若 kxy - 8x + 9y - 12 = 0 表示二条直线，求 k 值及此二直线所夹的角.