高中数学-高考试题(北京市 1977年直线与方程)

问答题（1977年北京市）

当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆x²/16+y²/9=1有一个交点？有两个交点？

答案解析

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讨论

椭圆

如图，已知椭圆长轴|A1A2 |=6，焦距|F1F2 |=4，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M,N，设∠F2F1M=α（0≤α<π），当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？

求经过定点M(1,2),以y轴为准线,离心率为1/2的椭圆的左顶点的轨迹方程.

已知椭圆Γ的方程x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)，点P的坐标为 (-a,b).(1) 若直角坐标平面上的点 M,A(0,-b),B(a,0)满足=1/2(+),求点M的坐标；(2) 设直线l1:y=k1 x+p交椭圆Γ于C,D两点，交直线l2：y=k2 x 交于点E，若k1•k2=-b2/a2 ，证明：E为CD的中点；(3) 对于椭圆Γ上的点Q(acos⁡θ,bsin θ)(0<θ<π)，如果椭圆Γ上存在不同的两点P1, P2,使得+=，写出求作点P1，P2的步骤，并求出使P1, P2存在的θ的取值范围.

设椭圆方程为x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)，令c=，那么它的准线方程为【】

如图，直线l的方程是x=-p/2，其中p>0；椭圆的中心为D(2+p/2,0)，焦点在x轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的一个顶点这A(p/2,0).问：p在哪个范围取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线l的距离?

设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=/2，已知点P(0,3/2)到这个椭圆上的点的最远距离是.求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.

已知点P在直线x=2上移动，直线l通过原点且与OP垂直，通过点A(1,0)及点P的直线m和直线l交于点Q.求点Q的轨迹方程，并指出该迹的名称和它的焦点坐标.

如图，已知椭圆x2/24 + y2/16 = 1，直线l:x/12 + y/8 = 1.P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|∙|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

求椭园25x2+9y2=100的长轴和短轴的长、焦点坐标，并且画出它的图像。

已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y2=4x的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长。

平面解析几何

已知圆x2+y2-2x-4y=0，则该圆的圆心坐标为__________.

在△ABC中，已知a=3,b=2c.(1)若A=2π/3，求S△ABC.(2) 若2sinB-sinC=1，求C△ABC.

若斜率为√3的直线与y轴交于点A，与圆x2+(y-1)2=1相切与点B，则|AB|=_______.

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sinA:sinB:sinC=2:1:√2,b=√2.(1)求a的值；(2)求cosC的值；(3)求sin⁡(2C-π/6)的值.

已知a,b,c分别表示△ABC的角A,B,C对边的长，求证：a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.

已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1).一质点从AB的中点P_0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD,DA和AB上的点P2,P3和P4(入射角等于反射角).设P4的坐标为(x4,0).若1<x4<2，则tanθ的取值范围是【】

一圆的中心在直线 5x-3y-7=0 上，且经过两圆之交点,求此圆的方程式.

在平地上一点 A，测得某山顶 P 之仰角 (elevation) 为 60°，自 A 点，在平地上，向山麓前进 800 尺至 B 点.自 B 点沿一与平地倾斜 30°之斜坡，再向山顶前进 800 尺，至 C 点，在 C 点测得山顶 P之仰角为 75°.若 A,B,C,P四点在一垂直平面内，求此山之高.

设二斜交轴 x 与y 交角为 θ，作一圆使通过 x 轴上之二定点 (a²,0),(b²,0)且与 y 轴相切，求此圆之方程式.

A tower of 20.7 feet high stands at the edge of the water on a bank of a river. From a point directly opposite to the tower on the other side of the river above the water, the angle of elevation of the top of the tower is 27°17' and the angle of depression of the image of its top in the water is 38°12'. Find the width of the river.

直线与方程

已知过点P(0,3√2)且斜率为k的直线与圆心在原点半径为3的圆相交于M,N两点.(1)求M,N的坐标；(2)问当M,N重合时，k为何值？此时，过点P的直线和圆的位置关系如何？过样的直线有几条？它们的夹角是多大？

Find the distance from the point (-1, -4) to the straight line which is drawn through (-2,6) and the perpendicular to the line joining (3,6) and (-5,-1).

过一点 (2,1)的直线与直线 2x - 3y + 12 = 0 成45°角，求直线方程.

在定角 XOY 的二边上各取二点 P、Q，使 OP +OQ = a. 试求 PQ 的中点的轨迹.

点 (0, −1) 到直线 y = k(x + 1) 距离的最大值为【】

若直线 l 与曲线 y = 和圆 x2 + y2 = 1/5 相切, 则 l 的方程为【】

用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.

已知两点P(-2,2),Q(2,2)以及一条直线l:y=x.设长为的线段AB在直线l上移动.求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.(要求把结果写成普通方程)

自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.

过点(1,2)且与直线2x + y - 1 = 0平行的直线方程是__________.