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问答题（2022年8月3日东南地区）

小陶同学玩如下游戏：取定大于1的常数v；对正整数m，第m轮与第m+1轮间隔为2-m单位时长；其中第m轮是在平面上取一个半径为2-m+1的圆形安全区域(含边界，取圆时间忽略不计)；取定后，该圆形安全区域将在整个游戏剩余时间内保持圆心不动，半径以速率v匀速减小，直至半径为零时，去掉该圆形安全区域.若小陶可在第100轮之前(含第100轮)的某轮将圆形安全区域完全取在已有的安全区域内，求[1/(v-1)]的最小值([x]表示不超过x的最大整数).

答案解析

记v=1+v0,k=⌊1/(v-1)⌋∈Z+.下面证明k的最小值为18.记小陶在第m轮开始时所画的圆为Cm，故在第m+l轮开始时，它的半径为rm,l=max⁡(0,1/2m-1 (1-(1-1/2l )v))=max⁡(0,1/2m+l-1 (1-v0 (2l-1)) ) ①注意到由①式，设v0∈[1/(2l0+1-1),1/2l0-1 )，其中l0∈Z+，则在任何一个轮m开始的时候平面上至多剩下l0个半径为1/2m-1 (1-v0 (2l-1))的圆，l=1,2,⋯,l0.问题变为是否能用这l0个圆覆盖一个半径为1/2m-1 的圆.也即能否用半径为(1-v0 (2l-1))，l∈1,2,⋯,l0的圆覆盖一个半径为1的圆.首先，易知若对于v>1小陶有必胜策略，则对于v'∈(1,v)，小陶也有必胜策略.故对于任何k，若存在v0∈(1/(1+k),1/k]使得小陶有必胜策略，则对于k'>k，亦存在v'∈(1/(1+k' ),1/k']使得小陶亦有必胜策略. 我们先证明k=18时存在1/19<v0≤1/18使得小陶有必胜策略.在这个时候，l0=4,故平面上在任何一个时刻至多剩下4个圆，其半径分别为1-v0,1-3v0,1-7v0,1-15v0.考虑一个凸四边形ABCD.连接对角线AC，设B对于AC的垂足为HB，设D对AC的垂足为HD.以AB,BC,CD,DA为直径做圆OAB,OBC,OCD,ODA，则直角三角形ABHB,BCHB,CDHD,ADHD分别被OAB,OBC,OCD,ODA覆盖.故凸四边形ABCD被这4个圆覆盖.固定四边长度，我们可以调整四边形ABCD使得A,B,C,D四点共圆.这个圆也必然被OAB,OBC,OCD,ODA所覆盖.若这个圆的半径≥1，则小陶已经获胜.记∠ABC=θ，则∠ADC=π-θ.设AB,BC,CD,DA的长度分别为a,b,c,d,则对角线AC的长度x满足:x2=a2+b2-2abcosθ=c2+d2-2cdcos(π-θ),整理得：x2=(cd(a2+b2 )+ab(c2+d2))/(ab+cd) ②即四边形ABCD的外接圆半径为R，故该圆也是三角形ABC的外接圆.由海伦公式，有：R=abx/(4SABC )=abx/√((a+b+x)(a+b-x)(a+x-b)(b+x-a)) ③由③得R≥1当且仅当a2 b2 x2≥((a+b)2-x2)(x2-(a-b)2)，即x4-(2a2+2b2-a2 b2 ) x2+(a2-b2 )2≥0 ④带入v0=1/19,d=2(1-v0 ),c=2(1-3v0 ),b=2(1-7...

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讨论

高中数学

设a,b是正整数，证明：在区间[b2/(a2+ab),b2/(a2+ab-1))上不存在正整数.

如图所示，在△ABC中，H是垂心.以H为圆心，过点A的圆与边AC,AB分别相交于不同于A的另外两点D,E.△ADE的垂心是H'，AH'的延长线与DE相交于点F.点P在四边形BCDE内部，满足△PDE∽△PBC(顶点按对应顺序排列).设直线HH',PF相交于点K，证明：A,H,P,K四点共圆.

设正数数列{an },{bn}满足：a1=b1=1,bn=an bn-1-1/4(n≥2).求4+1/(a1 a2⋯ak )的最小值，其中m是给定的正整数.

给定整数m,n≥2.将一个m行n列的方格表S的每个格子染上红、蓝两色之一，使下述条件成立:对于同一行的两个格子，若它们均被染了红色，则它们所属的两列中，一列的所有格子都被染了红色，另一列中有格子被染了蓝色，求不同的染色方式的数目.

若xi为大于1的整数，记f(xi)为xi的最大素因数.令xi+1=xi-f(xi)（i为自然数）.(1)证明：对任意大于1的整数x0，存在自然数k(x0)，使得xk(x0)+1=0;(2)令V(x0)为f(x0 ),f(x1 ),⋯,f(xk(x0))中不同的个数，求V(2),V(3),⋯,V(781)中的最大数，并说明理由.

如图所示，在锐角△ABC中，AB>AC，H是垂心，AM是中线，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于F.点D在BC边上，满足∠CAD=∠BAM且∠ADH=∠MAH，证明：EF平分线段AD.

设正数数列{an}满足：a1=1+√2且(an-an+1 )(an+an-1-2√n)=2(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式；(2)求满足[an ]=2022的所有正整数n构成的集合([x]表示不超过x的最大整数).

已知f(x)=1/2 sin2x，关于该函数的四个说法：①f(x)的最小正周期为2π；②f(x)在[-π/4,π/4]上单调递增；③当x∈[-π/6,π/3]时，f(x)的取值范围为[-√3/4,√3/4]；④f(x)的图像可由g(x)=1/2 sin⁡(2x+π/4)向左平移π/8个单位长度得到.正确的个数有【 】个

如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为【 】

已知抛物线y2=4√5 x,F1,F2分别是双曲线x2/a-y2/b=1(a>0,b>0)的左右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，与双曲线的渐近线交于点A,，若∠F1 F2 A=π/4，则双曲线的标准方程是【 】

圆

圆Γ的圆心为I.凸四边形ABCD满足：线段AB,BC,CD和DA都与Γ相切.设Ω是三角形AIC的外接圆. BA往A方向的延长线交Ω于点X,BC往C方向的延长线交Ω于点Z,AD往D方向的延长线交Ω于点Y,CD往D方向的延长线交Ω于点T.证明：AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.

如图，AB是⊙O的直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是⊙O的切线.

已知：如图，MN为圆的直径，P、C为圆上两点，连PM、PN，过C作MN的垂线与MN、MP和NP的延长线依次相交于A、B、D，求证：AC2=AB·AD.

有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD·AE=AC·AB.

如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC=100°，则∠BAC=______度.

从半圆之直径 AB 两端各引此半圆弦 AC,BD交于 E，求证: AC·AE+BD·BE = AB².

两圆外切，其半径各为R和r，设两圆之外公切线之交角为θ，试证 sinθ=.

于圆内接四边形内，若两对角线成垂直，求证对角线交点与一边中点之距离等于自圆心至对边之距离.

于三角形 ABC之BC边上任取X点作ABX及ACX两圆.(1)求证此两圆直径之比为AB:AC；(2)若BX:XC=m:n,试示①(m+n)cotAXC=ncotB-mcotC.②(m+n)2 AX2=(m+n)(mb2+nc2 )-mna2，其中a=BC,b=CA,c=AB.

证明：对于一组共轴圆 (co-axial circles) 一定点之诸极线 (polars) 必通过一定点，且一定直线之诸极 (poles) 必在一直线上.

平面几何

There are 4n pebbles of weights 1,2,3,…,4n. Each pebble is coloured in one of n colours and there are four pebbles of each colour. Show that we can arrange the pebbles into two piles so that the following two conditions are both satisfied:● The total weights of both piles are the same.● Each pile contains two pebbles of each colour.有 4n 枚石子，重量分别为 1 , 2 , 3 , … ， 4n ．每一枚小石子都染了n种颜色之一，使得每种颜色的小石子恰有四枚．证明：可以把这些小石子分成两堆，且满足以下两个条件：● 两堆小石子的总重量相同；● 每堆中每种颜色的小石子各有两枚．(匈牙利供题)

如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为【 】

Let n be a positive integer. A“Northern European Square Matrix (NESM) is an n×n square containing all the integers from 1 to n²,so that there is exactly one number in each grid.The two different grids are neighbours if they share a common edge.A grid is called a "valley”if the integer in it in smaller than the integers in all the neighbours of the grid. An "uphill path”is a sequence containing one or more grids satisfying:(i)the frist grid of the sequence is a valley,(ii) each subsequent grid in the sequence is the neighbour of its previous grid,(iii) the integers in the girds of the sequence is incremented.Figure out the minimum possible value of the number of uphill paths in a NESM which should be represented by a function of n.译文：令n为一个正整数，一个“北欧方阵”是一个包含1至n²所有整数的n×n的方格表，使得每个方格中恰有一个数字。两个相异方格如果有公共边，称它们是相邻的。如果一个方格内的数字比所有相邻方格内的数字都小，称其为“山谷”。一条“上坡路径”是一个包含一或多个方格的序列，满足：(1)序列的第一个方格是山谷；(2)序列中随后的每个方格都和前一个方格相邻；(3)序列中方格所写的数字递增。试求一个北欧方阵中山坡路径的最小可能值，以n的函数表示之。

以 n 角形之顶点为顶点，而不是 n 角形之边为边之三角形共有若干？

设R为三角形之外接圆半径，试证 acosA+bcosB+ccosC = 4RsinAsinBsinC.

某城街路为棋盘式，走向南北者有 a 条，而走向东西者有 6 条，一行人欲由西北隅向最短之路走到东南隅，问计共有若干方法？

设二圆之连心线交一圆于 A,B 两点，交第二圆于 D,C 二点，又交二圆之一外公切线于 P 点，设在连心线上，点 A 距 P 最近，点 D 距 P 最远，试证：PA· PD = PB·PC.

圆内接四边形 ABCD 内，∠A = 90°,AB = a,BC = b，其面积为 c²，求CD,DA 及圆半径之长.

三角形ABC中，其边为a,b,c，内接圆半径为r，试证：a+b+c=2r(cot⁡(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2))

The sides of a triangle are 149,163 and 222. To find(1) The area of the triangle.(2) The radius of the inscribed circle.(3) The angles of the triangle.