问答题(2022年8月3日东南地区

小陶同学玩如下游戏:取定大于1的常数v;对正整数m,第m轮与第m+1轮间隔为2-m单位时长;其中第m轮是在平面上取一个半径为2-m+1的圆形安全区域(含边界,取圆时间忽略不计);取定后,该圆形安全区域将在整个游戏剩余时间内保持圆心不动,半径以速率v匀速减小,直至半径为零时,去掉该圆形安全区域.若小陶可在第100轮之前(含第100轮)的某轮将圆形安全区域完全取在已有的安全区域内,求[1/(v-1)]的最小值([x]表示不超过x的最大整数).

答案解析

记v=1+v0,k=⌊1/(v-1)⌋∈Z+.下面证明k的最小值为18.记小陶在第m轮开始时所画的圆为Cm,故在第m+l轮开始时,它的半径为rm,l=max⁡(0,1/2m-1 (1-(1-1/2l )v))=max⁡(0,1/2m+l-1 (1-v0 (2l-1)) ) ①注意到由①式,设v0∈[1/(2l0+1-1),1/2l0-1 ),其中l0∈Z+,则在任何一个轮m开始的时候平面上至多剩下l0个半径为1/2m-1 (1-v0 (2l-1))的圆,l=1,2,⋯,l0.问题变为是否能用这l0个圆覆盖一个半径为1/2m-1 的圆.也即能否用半径为(1-v0 (2l-1)),l∈1,2,⋯,l0的圆覆盖一个半径为1的圆.首先,易知若对于v>1小陶有必胜策略,则对于v'∈(1,v),小陶也有必胜策略.故对于任何k,若存在v0∈(1/(1+k),1/k]使得小陶有必胜策略,则对于k'>k,亦存在v'∈(1/(1+k' ),1/k']使得小陶亦有必胜策略. 我们先证明k=18时存在1/19<v0≤1/18使得小陶有必胜策略.在这个时候,l0=4,故平面上在任何一个时刻至多剩下4个圆,其半径分别为1-v0,1-3v0,1-7v0,1-15v0.考虑一个凸四边形ABCD.连接对角线AC,设B对于AC的垂足为HB,设D对AC的垂足为HD.以AB,BC,CD,DA为直径做圆OAB,OBC,OCD,ODA,则直角三角形ABHB,BCHB,CDHD,ADHD分别被OAB,OBC,OCD,ODA覆盖.故凸四边形ABCD被这4个圆覆盖.固定四边长度,我们可以调整四边形ABCD使得A,B,C,D四点共圆.这个圆也必然被OAB,OBC,OCD,ODA所覆盖.若这个圆的半径≥1,则小陶已经获胜.记∠ABC=θ,则∠ADC=π-θ.设AB,BC,CD,DA的长度分别为a,b,c,d,则对角线AC的长度x满足:x2=a2+b2-2abcosθ=c2+d2-2cdcos(π-θ),整理得:x2=(cd(a2+b2 )+ab(c2+d2))/(ab+cd) ②即四边形ABCD的外接圆半径为R,故该圆也是三角形ABC的外接圆.由海伦公式,有:R=abx/(4SABC )=abx/√((a+b+x)(a+b-x)(a+x-b)(b+x-a)) ③由③得R≥1当且仅当a2 b2 x2≥((a+b)2-x2)(x2-(a-b)2),即x4-(2a2+2b2-a2 b2 ) x2+(a2-b2 )2≥0 ④带入v0=1/19,d=2(1-v0 ),c=2(1-3v0 ),b=2(1-7...

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讨论

设a,b是正整数,证明:在区间[b2/(a2+ab),b2/(a2+ab-1))上不存在正整数.

如图所示,在△ABC中,H是垂心.以H为圆心,过点A的圆与边AC,AB分别相交于不同于A的另外两点D,E.△ADE的垂心是H',AH'的延长线与DE相交于点F.点P在四边形BCDE内部,满足△PDE∽△PBC(顶点按对应顺序排列).设直线HH',PF相交于点K,证明:A,H,P,K四点共圆.

设正数数列{an },{bn}满足:a1=b1=1,bn=an bn-1-1/4(n≥2).求4+1/(a1 a2⋯ak )的最小值,其中m是给定的正整数.

给定整数m,n≥2.将一个m行n列的方格表S的每个格子染上红、蓝两色之一,使下述条件成立:对于同一行的两个格子,若它们均被染了红色,则它们所属的两列中,一列的所有格子都被染了红色,另一列中有格子被染了蓝色,求不同的染色方式的数目.

若xi为大于1的整数,记f(xi)为xi的最大素因数.令xi+1=xi-f(xi)(i为自然数).(1)证明:对任意大于1的整数x0,存在自然数k(x0),使得xk(x0)+1=0;(2)令V(x0)为f(x0 ),f(x1 ),⋯,f(xk(x0))中不同的个数,求V(2),V(3),⋯,V(781)中的最大数,并说明理由.

如图所示,在锐角△ABC中,AB>AC,H是垂心,AM是中线,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于F.点D在BC边上,满足∠CAD=∠BAM且∠ADH=∠MAH,证明:EF平分线段AD.

设正数数列{an}满足:a1=1+√2且(an-an+1 )(an+an-1-2√n)=2(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求满足[an ]=2022的所有正整数n构成的集合([x]表示不超过x的最大整数).

已知f(x)=1/2 sin2x,关于该函数的四个说法:①f(x)的最小正周期为2π;②f(x)在[-π/4,π/4]上单调递增;③当x∈[-π/6,π/3]时,f(x)的取值范围为[-√3/4,√3/4];④f(x)的图像可由g(x)=1/2 sin⁡(2x+π/4)向左平移π/8个单位长度得到.正确的个数有【 】个

如图,“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象,重叠后的底面为正方形,直三棱柱的底面是顶角为120°,腰为3的等腰三角形,则该几何体的体积为【 】

已知抛物线y2=4√5 x,F1,F2分别是双曲线x2/a-y2/b=1(a>0,b>0)的左右焦点,抛物线的准线过双曲线的左焦点F1,与双曲线的渐近线交于点A,,若∠F1 F2 A=π/4,则双曲线的标准方程是【 】

某城街路为棋盘式,走向南北者有 a 条,而走向东西者有 6 条,一行人欲由西北隅向最短之路走到东南隅,问计共有若干方法?

三角形ABC中,自A、B两点各作对边垂线,垂足为D、E,设M、N为DE及AB之两中点,证明MN⊥DE.

With BC, one leg of △ABC, as diameter, a circle is described intersecting the hypotenuse AC at P. From P draw a tangent intersecting AB at D. Showt hat AD = BD.

设n是一个正整数.日式三角是将1+2+…+n个圆排成正三角形的形状,使得对 i= 1,2,…,n,从上到下的第i行恰有个圆,且其中恰有一个被染为红色.在日式三角内,忍者路径是指一串由n个圆组成的序列,从最上面一行的圆开始,每次从当前圆连接到它下方相邻的两个圆之一,直至到达最下面一行的某个圆为止.下图为一个n=6的日式三角,其中画有一条包含两个红色圆的忍者路径.求最大的整数k(用n表示),使得在每个日式三角中都存在一条忍者路径,它包含至少k个红色圆.

给定整数n > 1 .在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站.有两家缆车公司 A 和B,各运营 k 辆缆车;每辆从一个车站运行到某个更高的车站(中间不停留其他车站) . A 公司的 k 辆缆车的k个起点互不相同, k 个终点也互不相同,并且起点较高的缆车,它的终点也较高. B 公司的缆车也满足相同的条件.我们称两个车站被某家公司连接,如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站(中间不允许在车站之间有其他移动). 确定最小的正整数 k ,使得一定有两个车站被两家公司同时连接.(印度供题)

There are 4n pebbles of weights 1,2,3,…,4n. Each pebble is coloured in one of n colours and there are four pebbles of each colour. Show that we can arrange the pebbles into two piles so that the following two conditions are both satisfied:● The total weights of both piles are the same.● Each pile contains two pebbles of each colour.有 4n 枚石子,重量分别为 1 , 2 , 3 , … , 4n .每一枚小石子都染了n种颜色之一,使得每种颜色的小石子恰有四枚.证明:可以把这些小石子分成两堆,且满足以下两个条件:● 两堆小石子的总重量相同;● 每堆中每种颜色的小石子各有两枚.(匈牙利供题)

叙述并证明勾股定理.

设 CEDF 是一个已知圆的内接矩形,过 D 作该圆的切线与 CE 的延长线相交于点 A ,与 CF 的延长线相交于点 B . 求证:BF/AE=BC3/AC3 .

CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高,已知△ADC,△CBD,△ABC的面积成等比数列,求∠B(用反三角函数表示).

如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为【 】