若xi为大于1的整数,记f(xi)为xi的最大素因数.令xi+1=xi-f(xi)(i为自然数).
(1)证明:对任意大于1的整数x0,存在自然数k(x0),使得xk(x0)+1=0;
(2)令V(x0)为f(x0 ),f(x1 ),⋯,f(xk(x0))中不同的个数,求V(2),V(3),⋯,V(781)中的最大数,并说明理由.
若xi为大于1的整数,记f(xi)为xi的最大素因数.令xi+1=xi-f(xi)(i为自然数).
(1)证明:对任意大于1的整数x0,存在自然数k(x0),使得xk(x0)+1=0;
(2)令V(x0)为f(x0 ),f(x1 ),⋯,f(xk(x0))中不同的个数,求V(2),V(3),⋯,V(781)中的最大数,并说明理由.
记pi=f(xi)为一素数.(1)由定义,对于任意的i,若xi∈Z+,xi>1,容易知道xi>xi+1≥0是递减的整数列,且pi |xi+1.故对于任意初始的x0∈Z+,x0>1,这种递减只能进行有限多次.于是必然有某个自然数k,使得xk≥2,xk+1<2.但是由于xk+1≥0且pk |xk+1,xk+1不能为1,则必然有xk+1=0.(2)容易知道,pi是一个递增数列,而xi是一个严格递减数列,i=0,1,⋯,k.记i1,⋯,is为1,⋯,k中使得pil>pil-1的数,l=1,2,⋯,s,则V(x)=s+1.记q0=p0,ql=pil,l=1,2,⋯s,可知q0,⋯,qs为f(x0 ),⋯,f(xk)中的所有不同素数,并且qs>qs-1>⋯>q0.易知ql ql-1 |xil,l=1,2,⋯,s.令kl=xil/(ql ql-1 ),可知ks<ks-1<⋯<k1为一个严格递减正整数序列.首先我们证明s≤4,现反设s≥5,即V(x0 )≥6,则q5≥13,q4≥11⟹ x>13×11=143.若q0=2,则x0为2的次幂,因为x0≤781,故x0∈{256,512},但以验证V(256)=2,V(512)=3,与V(x0 )≥6矛盾.类似地,可以验证q0≠3.所以q0≥5,于是q5≥19,q4≥17,q3≥13,q2≥11,q1≥7.于是我们有x0>17×19=323,故k5≤2,k4≤3.首先我们声明qs-1≤23,否则有x0>qs-1 qs≥29×31>781,矛盾.由定义,我们知道xil,xil+1,⋯,xil+1为一个等差数列,并且扫过ql (ql+1 kl+1)到ql (ql-1 kl)中所有的ql的倍数.故我们有如下性质:性质(ⅰ):ql+1 kl+1<ql-1 kl并且ql+1 kl+1+1,⋯,ql-1 kl中每个数的最大素因子均≤ql.性质(ⅱ):1-118之间的数每连续11至少有一个素数.性质(ⅲ):若ql-1≥11,且ql-1 kl≤11...
查看完整答案记f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x),若f(-1/3)=1/3,则f(5/3)=【 】
设函数f(x)=(1-x)/(1+x),则下列函数中为奇函数的是【 】
已知f(x)=3/x+2,则f-1 (1)=__________.
已知参数方程,t∈[-1,1],以下哪个图像符合该方程【 】
已知函数f(x)=x2+1/4,g(x)=sinx,则图像为如图的函数可能是【 】
已知函数f(x)及其导函数 的定义域均为R,记g(x)=f' (x),若f(3/2-2x),g(2+x)均为偶函数,则【 】
已知函数 和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.(1)求a;(2)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.