高中数学-高考试题(北京交通大学 1946年三角形)

证明题（1946年北京交通大学）

三角形内任意一点至三顶点 A,B,C 的延长线交对边于 P,Q,R，则BP/CP×CQ/AQ×AR/BR=1.

答案解析

暂无答案

讨论

高中数学

试证三角形之高为垂足所成三角形之各角的角二等分线.

有 0,1,2,3,4,5,6,7 八个数字，可组成小于 10000 之数字有几？

解方程式x5-5x4-5x3+25x2+4x-20=0，已知各根为a,-a,b,-b,c等形式.

P -ABC 为一正三角锥，其底面三角形 ABC 正三角形之每边为 10 尺，而APB、BPC、CPA 三个面角均为 30°，求此三角锥之高.

F 点为抛物线 y² = 16x 之焦点，O 点为顶点，P 点为抛物线上任一点，PQ 为切线，自 O 点至 PQ 线之垂线与 FP 线相交 R 点，求 R 点之轨迹之方程式并绘其图形.

讨论方程式y=(x²+2x+3)/(2x²+3x+4)并绘其轨迹.

用数学归纳法求下列级数1/(1×2)+1/(2×3 )+1/(3×4)+⋯至n项之和.

已知方程式2x³+x²+3x+5=0之根为a,b,c，试用变换方程式法求以a(1/b+1/c),b(1/c+1/a),c(1/a+1/b)为根之方程式.

设有一三角形，其底为 7 cm，高为 5 cm，用圆规及尺作一正方形,其面积与此相等者.

用数学归纳法证明下列恒等式 1³+2³+3³+⋯+n³=[n(n+1)/2]²

三角形

Consider the convex quadrilateral ABCD. The point P is in the interior of ABCD. The following ratio equalities hod:∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.Prove that the following three lines meet in a point : the internal bisectors of angles ∠ADP and ∠PCB and the perpendicular bisector of segment AB.设P是凸四边形ABCD内部一点，且满足：∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.证明：∠ADP的内角平分线、∠PCB的内角平分线和线段AB的中垂线，三线共点。（波兰供题）

已知△ABC三内角的大小成等差数列，tanAtanC=2+，求角A，B，C的大小；又知顶点C的对边c上的高等于4，求三角形各边a，b，c的长.（提示：必要时可验证(1+)2=4+2）

叙述并证明勾股定理.

CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ADC,△CBD,△ABC的面积成等比数列，求∠B(用反三角函数表示).

锐角△ABC中，AB>AC，M为其外接圆⊙O的劣弧BC的中点，K为A的对径点，过O作OD∥AM交AB于D，交CA的延长线于E，直线BM交直线CK于P，直线CM交直线BK于Q. 求证：∠OPB+∠OEB=∠OQC+∠ODC.

魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=【】

设D是锐角三角形ABC（AB>AC）内部一点，使得∠DAB=∠CAD.线段AC上的点E满足∠ADE=∠BCD，线段AB上的点F满足∠FDA=∠DBC，且直线AC上的点X满足CX=BX.设O1和O2分别为三角形ADC和三角形EXD的外心.证明：直线BC,EF和O1O2共点.

我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则S1/S2 =___________.

从山顶D测得地面上同一方向的两点A和B的俯角分别是30°和45°，已知AB=40米，求山高（精确到0.1）

一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB.

平面几何

路旁有塔 CD，塔底 D 与路最近处为路上之 A 点.于路上 B 点测得塔顶 C之仰角为 α，又测得 BC 与路成角β .已知 AD =l，求塔高.

设R为三角形之外接圆半径，试证 acosA+bcosB+ccosC = 4RsinAsinBsinC.

已知直线 y = kx + b (k > 0) 与圆 x2 + y2 = 1 和圆 (x − 4)2 + y2 = 1 均相切, 则 k = _______, b = _______.

如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点 . 求证：(1) CD=CM=CN；(2) CD2=AM•BN.

设 CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过 D 作该圆的切线与 CE 的延长线相交于点 A ，与 CF 的延长线相交于点 B . 求证：BF/AE=BC3/AC3 .

半径为 1 , 2 , 3 的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．

圆Γ的圆心为I.凸四边形ABCD满足：线段AB,BC,CD和DA都与Γ相切.设Ω是三角形AIC的外接圆. BA往A方向的延长线交Ω于点X,BC往C方向的延长线交Ω于点Z,AD往D方向的延长线交Ω于点Y,CD往D方向的延长线交Ω于点T.证明：AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.

如图，AB是⊙O的直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是⊙O的切线.

已知：如图，MN为圆的直径，P、C为圆上两点，连PM、PN，过C作MN的垂线与MN、MP和NP的延长线依次相交于A、B、D，求证：AC2=AB·AD.

有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD·AE=AC·AB.