高中数学-高考试题(辅仁大学 1946年三角形)

问答题（1946年辅仁大学）

已知底边顶角及底边上之高,求作一三角形.

答案解析

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讨论

高中数学

试证下列恒等式cosA+cosB+cosC+cos⁡(A+B+C)=4 cos⁡(B+C)/2cos⁡(C+A)/2cos(A+B)/2

试将下式分为分项分数(2x3-x2+1)/(x-2)4

若x1,x2为方程式2x2-5x+3=0之二根，试求以x1/x2 与x2/x1 为根之方程式.

分解因式 y2 z2 (x4-1)+x2 (y4-x4)

分解因式 x4-23x2+1

求已知圆 x²+y² - 6x +4y = 12 之两切方程式，与一已知线 4x + 3y +5=0平行.

求(x+2)/(2x²+3x+6)之最大值.

某城街路为棋盘式，走向南北者有 a 条，而走向东西者有 6 条，一行人欲由西北隅向最短之路走到东南隅，问计共有若干方法？

设3tan-1=tan-1(1/x)+tan-1(1/3)，试求x之值.

两树相距 50 尺，在此树距地 5 尺处观他树之树顶与树根适成 90°之角，又观他树顶之仰角为 60°，求他树之高.

三角形

证明：等腰三角形两腰上的高相等.

为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB.

已知D为△ABC内的一点，AB=AC=1，∠BAC=63°，∠BAD=33°，∠ABD=27°，求DC(精确到小数点后两位，sin27°=0.4540).

三角形二边之和大于其他一边.

试证三角形之三中线相会于一点.

直角三角形之斜边上所画之正三角形之面积，等于其余两边上所画之正三角形之面积之和.

试证同底之三角形且在同平行线内其面积相等，又证明如何作一三角形令其面积等于已知之四边形.

试言已知三角形之两角及一角之对边,求作其形之方法.

如图，在三角形ABC中∠BAC=60°，BD平分∠ABC，交AC于D，CE平分∠ACB交AB于E，BD和CE交于F，则∠EFB=【】

设 AD 为 ∠ABC 之中线；∠ADB 之平分线交 AB 于E，∠ADC 之平分线交AC 于F，试证 EF// BC.

平面几何

何谓圆：___________________________.

过一已知点，作直线分已知等腰梯形为两等积形.

作直线垂直于一已知线，与已知圆相切.

设G为半径为R的圆，G1,G2,⋯,Gn为半径为r的圆，已知G1,G2,⋯,Gn均外切于G，对于i=1,2,⋯,n-1，Gi与Gi+1外切，且Gn与G1外切，则下列叙述正确的有【】

从半圆之直径 AB 两端各引此半圆弦 AC,BD交于 E，求证: AC·AE+BD·BE = AB².

两圆外切，其半径各为R和r，设两圆之外公切线之交角为θ，试证 sinθ=.

于圆内接四边形内，若两对角线成垂直，求证对角线交点与一边中点之距离等于自圆心至对边之距离.

于三角形 ABC之BC边上任取X点作ABX及ACX两圆.(1)求证此两圆直径之比为AB:AC；(2)若BX:XC=m:n,试示①(m+n)cotAXC=ncotB-mcotC.②(m+n)2 AX2=(m+n)(mb2+nc2 )-mna2，其中a=BC,b=CA,c=AB.

证明：对于一组共轴圆 (co-axial circles) 一定点之诸极线 (polars) 必通过一定点，且一定直线之诸极 (poles) 必在一直线上.

以 n 角形之顶点为顶点，而不是 n 角形之边为边之三角形共有若干？