高中数学-高考试题(上海市 2000年空间直线及关系)

问答题（2000年上海市）

如图所示四面体A-BCD中，AB,BC,BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成的角大小为arccos /10，求四面体A-BCD的体积.

答案解析

过A引BE的平行线，交CB的延长线于F，连接DF. ∠DAF是异面直线BE与AD所成的角，∴∠DAF=arccos /10.∵E是AC的中点,∴B是CF的中点，AF=2BE=2.又BF,BA分别是DF，D...

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讨论

空间向量

设点P在有向线段的延长线上，P分所成的比为λ，则【】

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中，CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2，M,N分别是A1B1,A1A的中点. (I)求的长； (II)求cos⟨,⟩的值；(Ⅲ)求证A1B⊥C1M.

如图，直三棱柱ABC-A1 B1 C1的体积为4，△A1 BC的面积为2√2．（1）求A到平面A1 BC的距离；（2）设D为A1 C的中点，AA1=AB，平面A1 BC⊥平面ABB1 A1，求二面角A-BD-C的正弦值．

设点Q关于平面r➝=-(t+p) i➝+tj➝+(1+p)k➝的对称点为S，其中t,p为实数，i➝,j➝,k➝分别为空间坐标系坐标轴正方向的三个单位向量，若点Q与S的位置矢量分别为10i➝+15j➝+20k➝与αi➝+βj➝+γk➝，则以下说法正确的是【】

如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=a,=b,=c，则下列向量中与相等的向量是【】

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足=λ+μ，其中λ∈[0,1],μ∈[0,1]，则【】

已知直线 l 的解析式为 3x − 4y + 1 = 0, 则下列各式是 l 的参数方程的是【】

如下图所示,在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB, 将剩余部分沿OC,OD折叠，使OA,OB重合，则A(B),C,DCO为顶点的四面体的体积是_______.

直线L的参数方程式(t∈R)，则 L的方向向量d可以是【】

若实数x,y,m满足|x- m|>|y- m|，则称x比y远离m.(1) 若x2-1比1远离0，求x的取值范围;(2) 对于任意两个不相等的正数a,b.证明：a3+b3比a2b+ab2 远离 2ab;(3) 已知函数f(x) 的定义域 D={x|x≠kπ/2+π/4,k∈Z,x∈R}. 任取x∈D，f(x)等于sinx和 cosx中远离0的那个值，写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质(结论不要求证明).

空间解析几何

如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上；M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC，求证：SC垂直于截面MAB.

如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为面AC内的一点，Q为面BD内的一点.已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上，又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ(0°<θ<90°)，线段PM的长为a.求线段PQ的长.

如图，已知二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的一点（它不在棱AB上），点D是点C在平面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，那么【】.

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值.

如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC，且分别交AC,SC于D,E.又SA=AB,SB=BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°.侧棱AA1=2，D,E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.(I)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示);(Ⅱ)求点A1到平面AED的距离.

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=2,AA1⊥AB,D为A1B1的中点，E为AA1的中点，F为CD的中点.(1)求证：EF//ABC平面；(2)求直线BE与平面CC1D夹角的正弦值；(3)求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值.

如图，在正四棱柱ABCD-A1 B1 C1 D1中，AB=2,AA1=4，点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)证明：B2 C2//A2 D2;(2)点P在棱BB1上，当二面角P-A2 C2-D2为150°时，求B2 P.

如图, D 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, AE 为底面直径, AE = AD. △ABC 是底面的内接正三角形,P 为 DO 上一点, PO = DO.(1) 证明: PA ⊥ 平面 PBC;(2) 求二面角 B − PC − E 的余弦值.

如图, 已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为 BC, B1C1 的中点, P 为 AM 上一点, 过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F .(1) 证明: AA1 // MN, 且平面 A1AMN ⊥ 面 EB1C1F ;(2) 设 O 为 △A1B1C1 的中心, 若 AO = AB = 6, AO//平面 EB1C1F , 且 ∠MPN = π/3 , 求四棱锥 B −EB1C1F 的体积.

空间直线及关系

已知平面P1:10x+15y+12z-60=0,P2:-2x+5y+4z-20=0.若存在一个四面体，其中两个面分别位于平面P1和P2上，下面哪条直线可能是该四面体的一条棱【】

如图, 已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为 BC, B1C1 的中点, P 为 AM 上一点, 过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F .(1) 证明: AA1 // MN, 且平面 A1AMN ⊥ 面 EB1C1F ;(2) 设 O 为 A1B1C1 的中心, 若 AO // 面 EB1C1F , 且 AO = AB, 求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值.

日晷是中国古代用来测定时间的仪器, 利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间. 把地球看成一个球 (球心记为 O) , 地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角, 点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面. 在点 A 处放置一个日晷, 若晷面与赤道所在平面平行, 点 A 处的纬度为北纬 40°, 则晷针与点 A 处的水平面所成角为【】

如图, 三棱台 ABC − DEF 中, 平面 ACFD ⊥ 平面 ABC, ∠ACB = ∠ACD = 45°, DC = 2BC.(I) 证明: EF ⊥ DB;(II) 求 DF 与面 DBC 所成角的正弦值.

在120°的二面角P-α-Q的两个面P和Q内，分别有点A和B . 已知点A和点B到棱α的距离分别为2和4，且线段AB=10.(1) 求直线AB和棱α所成的角；(2) 求直线AB和平面Q所成的角.

已知空间四边形ABCD中AB=BC,CD=DA,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点（如图）.求证MNPQ是一个矩形.

两条异面直线，指的是【】

已知三个平面两两相交，有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.

在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF中点. 现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G.那么，在四面体S-EFG中必有【】

求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内.