高中数学-高考试题(上海市 2024年一元二次不等式)

填空题（2024年上海市）

已知x∈R，则不等式x²-2x-3<0的解集为________.

答案解析

{x|-1<x<3}

讨论

高中数学

已知f(x)=，则f(3)=______.

设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={2,4}，则A ̅=________.

设集合M={(i,j,s,t)|i∈{1,2},j∈{3,4},s∈{5,6},t∈{7,8},2|(i+j+s+t)}.对于给定的有穷序列A:{a_n}(1≤n≤8)，及序列Ω:ω1,ω2,⋯,ωs,ω_k=(i_k,j_k,s_k,t_k )∈M，定义变换T:将数列A的第i1,j1,s1,t1项加1，得到数列T1 (A)；将数列T1 (A)的第i2,j2,s2,t2项加1，得到数列T2 T1 (A),⋯；重复上述操作，得到数列Ts⋯T2 T1 (A)，记为Ω(A).(1)给定数列A:1,3,2,4,3,1,9和序列Ω:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)，写出Q(A)；(2)是否存在序列Ω，使得Ω(A)为a1+2,a2+6,a3+4,a4+2,a5+8,a6+2,a7+4,a8+4，若存在，写出一个符合条件的Ω，若不存在，说明理由；(3)若数列A的各项均为正整数，且a1+a3+a5+a7为偶数，证明：“存在序列Ω，使得Ω(A)为常数列”的充要条件为“a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8”.

已知f(x)=x+kln(1+x)在(t,f(t))(t>0)处的切线为l.(1)若l的斜率为k=-1，求f(x)的单调区间；(2)证明：切线l不经过(0,0)；(3)已知k=1,A(t,f(t)),C(0,f(t)),O(0,0)，其中t>0，切线l与y轴交于点B，当2S△ACO=15S△ABO时，求符合条件的A的个数.(参考数据：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

已知椭圆C:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)，焦点和短轴端点构成长为2的正方形，过(0,t)(t>√2)的直线l交椭圆于点A,B,已知点C(0,1)，连接AC交椭圆于D.(1)求椭圆的方程和离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t.

已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元在总体中抽样 100单，以频率估计概率:赔偿次数 0 1 2 3 4单数 800 100 60 30 10(1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；(2)(i)毛利润是保费与赔偿金额之差。设毛利润为X，估计X的数学期望;(ii)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%. 估计保单下一保险期毛利润的数学期望.

已知四棱锥P-ABCD,AD∥BC,AB=BC=1,AD=3,DE=PE=2,E是AD上一点，PE⊥AD.(1)若F是PE的中点，证明：BF∥平面PCD.(2)若AB⊥PED，求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值.

在△ABC中，a=7,A为钝角，sin2B=√3/7 bcosB.(1)求∠A；(2)从条件①、②、③中选择一个作为已知，求△ABC的面积：①b=7；②cosB=13/14；③csinA=5/2 √3.

设{an}与{bn}是两个不同的无穷数列，且都不是常数数列，记集合M={k|ak=bk,k∈N*}，给出下列4个结论：①若{an}与{bn}均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若{an}与{bn}均为等比数列，则M中最多有3个元素；③若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则M中最多有3个元素；④若{an}为递增数列，{bn}为递减数列，则M中最多有1个元素.其中正确结论的序号是________.

汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为 10 的等比数列，底面直径依次为 65mm,325mm,325mm，且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为______mm，升量器的高为______mm.

一元二次不等式

不等式 < 1的解集是__________.

设函数f(x)= - ax,其中a>0.(I)解不等式f(x)≤1;(II)求a的取值范围，使函数f(x）在区间[0，+∞)上是单调函数.

已知f(x)=x³+a,x∈R，且f(x)是奇函数，则a=______.

已知k∈R,a=(2,5),b=(6,k)，且a∥b ，则k的值为________.

在(x+1)n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x²项的系数为________.

已知抛物线y²=4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为______.

某校举办科学竞技比赛，有A、B、C 3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题，小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率是______.

已知虚数z，其实部为1，且z+2/z=m(m∈R)，则实数m为______.

设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______.

已知点B在点C正北方向，点D在点C正东方向，BC=CD，存在点A满足∠BAC=16.5°,∠DAC=37°,则∠BCA=______(精确到0.1度).

不等式

若实数τ满足：对任意正整数x,y,z，均有x²+2y²+4z²+8≥2x(y+z+τ)则称τ为“平生数”.记最大的平生数为τ0.(1)求τ0的值；(2)求方程x²+2y²+4z²+8=2x(y+z+τ0)的所有正整数解(x,y,z).

设a,b,c,d∈(0,1)，满足a²+b²+c²+d²=3，证明：(1-a²)/(b+c)+(1-b²)/(c+d)+(1-c²)/(d+a)+(1-d²)/(a+b)<2/3.

若x,y满足约束条件，则z=x-5y的最小值为【】

实数a,b满足a+b≥3.(1)证明：2a²+2b²>a+b;(2)证明：|a-2b² |+|b-2a² |≥6.

若x,y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为【】

已知实数x,y满足，则z=x-y的最大值为__________.

已知x1,y1,x2,y2,x3,y3同时满足①x1<y1,x2<y2,x3<y3；②x1+y1=x2+y2=x3,y3；③x1 y1+x3 y3=2x2 y2，以下选项恒成立的是【】

设a=log20.3,b=log1/20.4,c=0.40.3，则a,b,c的大小关系为【】

设a=0.1e0.1,b=1/9,c=-ln0.9，则【】

已知a=31/32,b=cos⁡1/4,c=4 sin⁡1/4，则【】