填空题(2024年上海市

已知x∈R,则不等式x²-2x-3<0的解集为________.

答案解析

{x|-1<x<3}

讨论

已知f(x)=,则f(3)=______.

设全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,4},则A ̅=________.

设集合M={(i,j,s,t)|i∈{1,2},j∈{3,4},s∈{5,6},t∈{7,8},2|(i+j+s+t)}.对于给定的有穷序列A:{a_n}(1≤n≤8),及序列Ω:ω1,ω2,⋯,ωs,ω_k=(i_k,j_k,s_k,t_k )∈M,定义变换T:将数列A的第i1,j1,s1,t1项加1,得到数列T1 (A);将数列T1 (A)的第i2,j2,s2,t2项加1,得到数列T2 T1 (A),⋯;重复上述操作,得到数列Ts⋯T2 T1 (A),记为Ω(A).(1)给定数列A:1,3,2,4,3,1,9和序列Ω:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),写出Q(A);(2)是否存在序列Ω,使得Ω(A)为a1+2,a2+6,a3+4,a4+2,a5+8,a6+2,a7+4,a8+4,若存在,写出一个符合条件的Ω,若不存在,说明理由;(3)若数列A的各项均为正整数,且a1+a3+a5+a7为偶数,证明:“存在序列Ω,使得Ω(A)为常数列”的充要条件为“a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8”.

已知f(x)=x+kln(1+x)在(t,f(t))(t>0)处的切线为l.(1)若l的斜率为k=-1,求f(x)的单调区间;(2)证明:切线l不经过(0,0);(3)已知k=1,A(t,f(t)),C(0,f(t)),O(0,0),其中t>0,切线l与y轴交于点B,当2S△ACO=15S△ABO时,求符合条件的A的个数.(参考数据:1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

已知椭圆C:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0),焦点和短轴端点构成长为2的正方形,过(0,t)(t>√2)的直线l交椭圆于点A,B,已知点C(0,1),连接AC交椭圆于D.(1)求椭圆的方程和离心率;(2)若直线BD的斜率为0,求t.

已知某险种的保费为0.4万元,前3次出险每次赔付0.8万元,第4次赔付0.6万元在总体中抽样 100单,以频率估计概率:赔偿次数 0 1 2 3 4单数 800 100 60 30 10(1)求随机抽取一单,赔偿不少于2次的概率;(2)(i)毛利润是保费与赔偿金额之差。设毛利润为X,估计X的数学期望;(ii)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%,已赔偿过的增加20%. 估计保单下一保险期毛利润的数学期望.

已知四棱锥P-ABCD,AD∥BC,AB=BC=1,AD=3,DE=PE=2,E是AD上一点,PE⊥AD.(1)若F是PE的中点,证明:BF∥平面PCD.(2)若AB⊥PED,求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值.

在△ABC中,a=7,A为钝角,sin2B=√3/7 bcosB.(1)求∠A;(2)从条件①、②、③中选择一个作为已知,求△ABC的面积:①b=7;②cosB=13/14;③csinA=5/2 √3.

设{an}与{bn}是两个不同的无穷数列,且都不是常数数列,记集合M={k|ak=bk,k∈N*},给出下列4个结论:①若{an}与{bn}均为等差数列,则M中最多有1个元素;②若{an}与{bn}均为等比数列,则M中最多有3个元素;③若{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则M中最多有3个元素;④若{an}为递增数列,{bn}为递减数列,则M中最多有1个元素.其中正确结论的序号是________.

汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器,其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为 10 的等比数列,底面直径依次为 65mm,325mm,325mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为______mm,升量器的高为______mm.