考生注意:

1. 本试卷共 4 页, 21 道试题, 满分 150 分, 考试时间 120 分钟.

2. 本考试分设试卷和答题纸, 试卷包括试题与答题要求, 作答必须涂 (选择题) 或写 (非选择题) 在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.

3. 答卷前, 务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、班级、准考证号.

一、填空题(本大题共 12 小题, 满分 54 分. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 第 1 题至第 6 题 每个空格填对得 4 分, 第 7 题至第 12 题每个空格填对得 5 分, 否则一律得零分.)

【第1题】已知 A = {1, 2, 4}, B = {2, 4, 5}, 则 A ∩ B =__________.

【第2题】(n+1)/(3n+2)=________.

【第3题】已知 z = 1 − 2i, 则 |z| =______.

【第4题】已知 f(x) = x3, 则 f−1(x) =______.

【第5题】已知 1, 2, a, b 的中位数是 3, 平均数是 4, 则 ab =______.

【第6题】已知=6,求=______.

【第7题】已知 x, y 满足,求 z = y − 2x 的最大值为________.

【第8题】已知数列 {an} 为不为零的等差数列, 且 a1 + a10 = a9, 则 (a1+a2+⋯+a9)/a10  =__________ .

【第9题】从 6 个人中挑选 4 个人去值班, 每人最多值班一天, 第一天需要 1 个人, 第二天需要 1 个人, 第三天需要 2 个人, 则有 ________ 种排法.

【第10题】已知椭圆 x2/4+y2/3=1 , 点 P 在第二象限, F 是其右焦点, PF 交椭圆于 Q, Q 关于 x 轴对称点 Q′, 且PF ⊥ FQ′, 直线 PF 的方程是_______________.

【第11题】设 a ∈ R, 若存在定义域为 R 的函数 f(x) 满足: ① 对任意 x0 ∈ R, f(x0) 的值为 x02 或 x0; ② 关于 x 的方程 f(x) = a 无实数解. 则 a 的取值范围是_______________.

【第12题】设 k ∈ N, 已知平面向量 a1, a2, b1, b2, · · · , bk 两两不同, |a1 − a2| = 1. 对于任意 i = 1, 2, j = 1, 2, 3,· · · , k, |ai − bj| ∈ {1, 2}, 则 k 的最大值是_______________.

二、选择题(本大题共有 4 题, 满分 20 分. 每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上, 将代表 答案的小方格涂黑, 选对得 5 分, 否则一律得零分.)

【第13题】已知 a, b ∈ R, 则下列各式正确的是【 】

A. a + b ⩽

B. a2 + b2 ⩾ −2ab

C. a + b ⩾ −

D. a2 + b2 ⩽ 2ab

【第14题】已知直线 l 的解析式为 3x − 4y + 1 = 0, 则下列各式是 l 的参数方程的是【 】

A.

B.

C.

D.

【第15题】在棱长为 10 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中, P 为左侧面 ADD1A1 上一点, 已知点 P 到 A1D1 的距离为 3, 点 P 到 AA1 的距离为 2, 则过点 P 且与 A1C 平行的直线交正方体于 P、 Q 两点, 则 Q 点所在的平面是【 】

A. AA1B1B

B. BB1C1C

C. CC1D1D

D. ABCD

【第16题】命题 p : 存在 a≠ 0, 对于任意的 x, 使 f(x + a) < f(x) + f(a); 命题 q1 : f(x) 为单调递减函数且 f(x) > 0恒成立; 命题 q2 : f(x) 为单调递增函数且存在 x0 < 0, 使 f(x0) = 0. 则下列说法正确的是【 】

A. q1, q2 都是 p 的充分条件

B. 只有 q2 是 p 的充分条件

C. 只有 q1 是 p 的充分条件

D. q1, q2 都不是 p 的充分条件

三、解答题(本大题共有 5 题, 满分 76 分. 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.)

【第17题】已知 ABCD 是边长为 1 的正方形, 绕其中一条轴 AB 旋转成一个圆柱.

(1) 求该圆柱的表面积;

(2) 将 DC 旋转 90° 至 C1D1, 求线 C1D 与平面 ABCD 的夹角.

【第18题】已知 f(x) = sinωx, ω> 0.

(1) T = 4π, 求ω及f(x)=1/2时的解集;

(2) ω = 1, g(x)=[f(x)]2-f(-x)f(π/2-x), 求 x∈[0,π/4] 时 g(x) 的值域.

【第19题】在研究某市交通情况时, 道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间, 车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度. 现定义交通流量为 v=q/x(x, q 分别是道路密度和车辆密度, 且 x ∈(0, 80]). 据调查某路段的交通流量有如下规律:

,(k > 0).

求: (1) 若交通流量 v 大于 95, 求 x 的取值范围;

(2) 已知道路密度为 80 时, 交通流量为 50. 问 x 多少的时候 q 最大?

【第20题】双曲线C1: x2/4-y2/b2 =1 与圆 C2 : x2 + y2 = 4 + b2 (b > 0) 交于点 A(xA, yA), 曲线 Γ 满足 x > |xA| 并在曲线 C1、C2 上.

(1) 若 xA=, 求 b 的值;

(2) b =, 圆 C2 与 x 轴交于点 F1, F2, P 在第一象限, |PF1| = 8, 求 ∠F1PF2;

(3) 点 D(0,b2/2+2), 过该点的直线斜率为 -b/2 的直线 l 和 Γ 只有两个交点, 记作 M, N, 用 b 表示 ,并求其取值范围.

【第21题】已知有限数列 {an} 项数为 m, 若其满足: |a1 − a2| ⩽ |a1 − a3| ⩽ · · · ⩽ |a1 − am|, 则称数列 {an} 满足性质 P .

(1) 判断数列 3, 2, 5, 1 和数列 4, 3, 2, 5, 1 是否具有性质 P ;

(2) 已知 a1 = 1, 公比为 q 的等比数列, 项数为 10, 具有性质 P , 求 q 的取值范围;

(3) 若 an 是 1, 2, 3, · · · , m (m ⩾ 4) 的一个排列, bk = ak+1 (k = 1, 2, 3 · · · , m − 1), 数列 {an}, {bn} 都具有性质 P , 求所有满足条件的 {an}.