高中数学-高考试题(全国统考 1984年代数式)

单项选择（1984年全国统考）

如果n是正整数，那么1/8[1-(-1)ⁿ](n²-1)的值【】

A、一定是零

B、一定是偶数

C、是整数但不一定是偶数

D、不一定是整数

答案解析

B

【解析】

当n=2k+1(k∈N)时1/8 [1-(-1)ⁿ ](n²-1)=k(k+1)为偶数；

当n=2k(k∈N)时1/8 [1-(-1)ⁿ ](n²-1)=0.

讨论

高中数学

如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么【】。

数值X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是【】。

如果正实数a,b满足ab=ba，且a<1，证明 a=b.

已知a,b为实数，并且e<a<b，其中e是自然对数的底，证明 ab>ba.

已知数列{an}的首项a1=b(b≠0)，它的前n项的和Sn=a1+a2+⋯+an (n≥1)，并且S1,S2,⋯,Sn,⋯是一个等比数列，其公比为p(p≠0，且|p|<1).(Ⅰ) 证明：a2,a3,⋯,an,⋯（即{an}从第2项起）是一个等比数列.(Ⅱ) 设Wn=a1 S1+a2 S2+⋯+an Sn (n≥1)，求Wn（用b,p表示）.

如图，已知椭圆长轴|A1A2 |=6，焦距|F1F2 |=4，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M,N，设∠F2F1M=α（0≤α<π），当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？

如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上；M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC，求证：SC垂直于截面MAB.

当实数t取什么值时，复数z=+i的辐角主值θ适合0≤θ≤π/4 ?

证明：对于任意实数t，复数z=+i的模r=|z|适合r≤.

计算行列式（要求结果最简）：

线性代数

劈生数(因式分解)：a4+a²b²+b4

解明：(6x+5)/(8x-15)-(1+8x)/15=(1-x)/3+(3-x)/5

x4+4之有理因子为____________.

设a:b = x:y，试证 (a³ + 2b³) : ab² = (z³ +2y³) : xy².

某学生带银去买书籍等物; 要用所有银的1/4买字典，1/5买地理，1/6买文具，这样算，付价之后，还可以剩银23/10元; 问他带去银是多少?

变换方程式x4+16x3+89x2+200x+156=0，使其缺第二项,因而求原方程式之根.

若多项式 f(x) 之系数皆为整数，且 f(0) 及 f(1) 又均为奇数，试证 f(x) = 0绝无整数根.

分解因式 x4-23x2+1

分解因式 y2 z2 (x4-1)+x2 (y4-x4)

代数式

试将下式分为分项分数(2x3-x2+1)/(x-2)4

若 x³ + 3px² + 3qx +r 及 x² + 2px +q 有一个一次公因子，试问 p,g,r 之间应有何种关系？又若有两个一次公因子，则其关系又若何?

分x3/(x+1)4 为分项分数.

Simplify yz(x+a)/(x-y)(x-z)+zx(y+a)/(y-z)(y-x)+xy(z+a)/(z-x)(z-y)

析(3x²+x-2)/(x-2)²(1-2x)为部分分式.

若下式(x+p)(x+2q)+(x+2p)(x+q)为含有x的整平方式，则9p²-14pq+9q²=0.

若(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)+(x+a)(x+b)为含x的整平方式，则a=b=c.

若 a² = ab,则a=b 对不对? 为什么?

设x为实数，试证：(x²-6x+5)/(x²+2x+1)之值不小于-1/3.

试分解(x²+x-3)/(x-1)(x-2)(x-3)为最简部分分式.