高中数学-高考试题(全国统考 1984年代数式)

单项选择（1984年全国统考）

如果n是正整数，那么1/8[1-(-1)ⁿ](n²-1)的值【】

A、一定是零

B、一定是偶数

C、是整数但不一定是偶数

D、不一定是整数

答案解析

B

【解析】

当n=2k+1(k∈N)时1/8 [1-(-1)ⁿ ](n²-1)=k(k+1)为偶数；

当n=2k(k∈N)时1/8 [1-(-1)ⁿ ](n²-1)=0.

讨论

高中数学

如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么【】。

数值X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是【】。

如果正实数a,b满足ab=ba，且a<1，证明 a=b.

已知a,b为实数，并且e<a<b，其中e是自然对数的底，证明 ab>ba.

已知数列{an}的首项a1=b(b≠0)，它的前n项的和Sn=a1+a2+⋯+an (n≥1)，并且S1,S2,⋯,Sn,⋯是一个等比数列，其公比为p(p≠0，且|p|<1).(Ⅰ) 证明：a2,a3,⋯,an,⋯（即{an}从第2项起）是一个等比数列.(Ⅱ) 设Wn=a1 S1+a2 S2+⋯+an Sn (n≥1)，求Wn（用b,p表示）.

如图，已知椭圆长轴|A1A2 |=6，焦距|F1F2 |=4，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M,N，设∠F2F1M=α（0≤α<π），当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？

如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上；M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC，求证：SC垂直于截面MAB.

当实数t取什么值时，复数z=+i的辐角主值θ适合0≤θ≤π/4 ?

证明：对于任意实数t，复数z=+i的模r=|z|适合r≤.

计算行列式（要求结果最简）：

线性代数

分解因式 y2 z2 (x4-1)+x2 (y4-x4)

试将下式分为分项分数(2x3-x2+1)/(x-2)4

若 x³ + 3px² + 3qx +r 及 x² + 2px +q 有一个一次公因子，试问 p,g,r 之间应有何种关系？又若有两个一次公因子，则其关系又若何?

分x3/(x+1)4 为分项分数.

Simplify yz(x+a)/(x-y)(x-z)+zx(y+a)/(y-z)(y-x)+xy(z+a)/(z-x)(z-y)

析(3x²+x-2)/(x-2)²(1-2x)为部分分式.

若下式(x+p)(x+2q)+(x+2p)(x+q)为含有x的整平方式，则9p²-14pq+9q²=0.

若(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)+(x+a)(x+b)为含x的整平方式，则a=b=c.

若 a² = ab,则a=b 对不对? 为什么?

设x为实数，试证：(x²-6x+5)/(x²+2x+1)之值不小于-1/3.

代数式

试分解(x²+x-3)/(x-1)(x-2)(x-3)为最简部分分式.

将f(x)=x³-3x²+5x+6的根增一常数，使变后的方程缺x²项.

试从x=by+cz,y=cz+ax,z=ax+by，消去x,y,z.求a,b,c间的关系式.

化(5x²-4x+16)/((x²-x+1)²(x-3))为部分分式.

求下式之部分分式(2x+3)/((x-2)(x²+3)).

分解(x2-2x+5)/(x4-4x3+5x2-4x+4)为最简部分分式.

设 A,B 为 x 的两个有理整式，请用辗转相除法说明并证明何种情况为互质，何种情况下有公因式.有公因式时，说明求最高公因式之方法并证明之.

A polynomial P with integer coefficients is square-free if it is not expressible in the form P=Q² R, where Q and R are polynomials with integer coefficients and Q is not constant. For a positive integer n, let Pn be the set of polynomials of the form1+a1 x+a2 x²+⋯+an xnwith a1,a2,⋯,an∈{0,1}. Prove that there exists an integer N so that, for all integers n>N, more than 99% of the polynomials in Pn are square-free.【译】我们称整系数多项式P是无平方因子的，如果其不能表示为P=Q² R的形式，这里Q,R为整系数多项式且Q不为常数.对于正整数n，记Pn为如下形式的多项式组成的集合：1+a1 x+a2 x²+⋯+an xn这里a1,a2,⋯,an∈{0,1}.证明：存在整数N，使得对任意的整数n≥N,Pn中超过99%的多项式都是无平方因子的.

分解因式：x2-4xy+4y2-4z2.

甲乙两容器内都盛有酒精，甲有v1公斤，乙有v2公斤.甲中纯酒精与水（重量）之比为m1:n1，乙中纯酒精与水之比为m2:n2，问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？