单项选择(2020年浙江省

已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 公差 d≠ 0, a1/d ⩽ 1. 记 b1 = S2, bn+1 = Sn+2 − S2n, n ∈ N, 下列不可能成立的是【 】

A、2a4 = a2 + a6

B、2b4 = b2 + b6

C、=a2 + a8

D、= b2 + b8

答案解析

B

讨论

已知空间中不过同一点的三条直线 l, m, n, 则“l, m, n 在同一个平面”是“l, m, n 两两相交”的【 】

某几何体的三视图 (单位: cm) 如图所示, 则该几何体的体积 (单位: cm3) 是【 】

函数 y = x cos x + sin x 在区间 [−π, π] 的图像大致为【 】

若实数 x, y 满足约束条件 , 则 z = x + 2y 的取值范围是【 】

已知 a ∈ R, 若 a − 1 + (a − 2)i (i 为虚数单位) 是实数, 则 a =【 】

已知集合 P = {x | 1 < x < 4}, Q = {x | 2 < x < 3}, 则 P ∩ Q =【 】

已知有限数列 {an} 项数为 m, 若其满足: |a1 − a2| ⩽ |a1 − a3| ⩽ · · · ⩽ |a1 − am|, 则称数列 {an} 满足性质 P .(1) 判断数列 3, 2, 5, 1 和数列 4, 3, 2, 5, 1 是否具有性质 P ;(2) 已知 a1 = 1, 公比为 q 的等比数列, 项数为 10, 具有性质 P , 求 q 的取值范围;(3) 若 an 是 1, 2, 3, · · · , m (m ⩾ 4) 的一个排列, bk = ak+1 (k = 1, 2, 3 · · · , m − 1), 数列 {an}, {bn} 都具有性质 P , 求所有满足条件的 {an}.

双曲线C1: x2/4-y2/b2 =1 与圆 C2 : x2 + y2 = 4 + b2 (b > 0) 交于点 A(xA, yA), 曲线 Γ 满足 x > |xA| 并在曲线 C1、C2 上.(1) 若 xA=, 求 b 的值;(2) b =, 圆 C2 与 x 轴交于点 F1, F2, P 在第一象限, |PF1| = 8, 求 ∠F1PF2;(3) 点 D(0,b2/2+2), 过该点的直线斜率为 -b/2 的直线 l 和 Γ 只有两个交点, 记作 M, N, 用 b 表示 ∙,并求其取值范围.

在研究某市交通情况时, 道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间, 车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度. 现定义交通流量为 v=q/x(x, q 分别是道路密度和车辆密度, 且 x ∈(0, 80]). 据调查某路段的交通流量有如下规律:,(k > 0).求: (1) 若交通流量 v 大于 95, 求 x 的取值范围;(2) 已知道路密度为 80 时, 交通流量为 50. 问 x 多少的时候 q 最大?

已知 f(x) = sinωx, ω> 0.(1) T = 4π, 求ω及f(x)=1/2时的解集;(2) ω = 1, g(x)=[f(x)]2-f(-x)f(π/2-x), 求 x∈[0,π/4] 时 g(x) 的值域.

在等差数列 {an} 中, a1 = −9, a5 = −1. 记 Tn = a1a2 · · · an (n = 1, 2, · · · ), 则数列 {Tn}【 】

已知数列 {an} 为不为零的等差数列, 且 a1 + a10 = a9, 则 (a1+a2+⋯+a9)/a10 =__________ .

已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列;②数列{}是等差数列;③a2=3a1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.

记Sn为数列{an }的前n项和,已知a1=1,{Sn/an }是公差为1/3的等差数列.(1)求{an}的通项公式;(2)证明:1/a1 +1/a2 +⋯+1/an <2.

记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=__________.

已知等差数列{an}的首项a1=-1,公差d>1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N* ).(1)若S4-2a2 a3+6=0,求Sn;(2)若对于每个n∈N*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.

已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为1/4的等差数列,则|m-n|=【 】

设{an}是等差数列;{bn}是等比数列;a1=b1=a2-b2=a3-b3=1.(1)求{an}与{bn }的通项公式;(2)设{an}的前n项和为Sn,求证:(Sn+1+an+1 ) bn=Sn+1 bn+1-Sn bn;(3)求∑k=12n(ak+1-(-1)k ak ) bk .

设l1,l2,⋯,l100是公差为d1的等差数列的前100项,w1,w2,⋯,w100是公差为d2的等差数列的前100项,且d1 d2=10.设Ai表示边长分别为li和wi的矩形的面积,若A51-A50=1000,则A100-A90的值为__________.

设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足bn=nan/3.已知a1,3a2,9a3成等差数列.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前和n项和.证明:Tn<Sn/2.

已知ai∈N* (i=1,2,…,9)对任意的k∈N* (2≤k≤8),ak=ak-1+1或ak=ak+1-1中有且仅有一个成立,a1=6,a9=9,则a1+⋯+a9的最小值为__________.

已知{an}是公差为2的等差数列,其前8项的和为64,{bn}是公比大于0的等比数列,b1=4,b3-b2=48.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)记cn=b2n+1/bn ,n∈N*(i)证明{cn2-c2n}是等比数列;(ii)证明<2√2.

嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列{bn}:b1=1+ ,b2=1+,b3=1+,…,依此类推,其中αk∈N* (k=1,2,⋯).则【 】

己知数列{an}各项均为正数,其前n项和Sn满足an⋅Sn=9(n=1,2,⋯).给出下列四个结论:①{an}的第2项小于3; ②{an}为等比数列;③{an}为递减数列; ④{an}中存在小于1/100的项.其中所有正确结论的序号是__________.

已知Q:a1,a2,⋯,ak为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的n∈{1,2,⋯,m},在Q中存在ai,ai+1,ai+2,⋯,ai+j (j≥0),使得ai+ai+1+ai+2+⋯+ai+j=n,则称Q为m-连续可表数列.(1)判断Q:2,1,4是否为5-连续可表数列?是否为6-连续可表数列?说明理由;(2)若Q:a1,a2,⋯,ak为8-连续可表数列,求证:k的最小值为4;(3)若Q:a1,a2,⋯,ak为20-连续可表数列,且a1+a2+⋯+ak<20,求证:k≥7.

已知数列{an}满足a1=1,an+1=an-1/3 an2 (n∈N* ),则【 】

数列{an}中,a1=1,a2=3,若地任意n(n≥2)都存在正整数i(1≤i≤n-1)使得an+1=2an-ai.(1)求a4的所有可能值.(2)命题p:若a1,a2,a3,…,a8成等差数列,则a9<30,证明命题p为真;写出p的逆命题q,并判断q的真假,若命题q为真则证明,若命题q为假,请举出反例.(3)若对任意正整数m,a2m=3m,求数列{an}的通项公式.

(I)设{an}是集合{2t+2s |0≤s<t,s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列,即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,⋯将数列{an}各项按照上小下大,左小右大的原则写成如下的三角形数表:35 69 10 12⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯(i)写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;(ii)求a100.(Ⅱ)(本小题为附加题,如果解答正确,加4分,但全卷总分不超过150分)设{bn}是集合{2t+2s+2r |0≤r<s<t,r,s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列,已知bk=1160,求k.

设正数数列{an}满足:a1=1+√2且(an-an+1 )(an+an-1-2√n)=2(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求满足[an ]=2022的所有正整数n构成的集合([x]表示不超过x的最大整数).

设正数数列{an },{bn}满足:a1=b1=1,bn=an bn-1-1/4(n≥2).求4+1/(a1 a2⋯ak )的最小值,其中m是给定的正整数.