问答题(1923年北京大学

英:Find the equations to the tangents to the ellipse 3x²+ y² = 3, inclined at angle of 45° to the axis of x.

汉:求椭圆 3x²+y²=3之与x轴夹角为 45°的切线方程.

答案解析

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讨论

设 O 为坐标原点, 直线 x = 2 与抛物线 C : y2 = 2px (p > 0) 交于 D, E 两点, 若 OD ⊥ OE, 则 C 的焦点坐标为【 】

己知椭圆 C : x2/25 + y2/m2 = 1 (0 < m < 5) 的离心率为 , A, B 分别为 C 的左、右顶点.(1) 求 C 的方程;(2) 若点 P 在 C 上, 点 Q 在直线 x = 6 上, 且 |BP| = |BQ|, BP⊥BQ, 求 △APQ 的面积.

已知椭圆 C : x2/a2 +y2/b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为/2 , 且过点 A(2, 1).(1) 求 C 的方程;(2) 点 M, N 在 C 上, 且 AM ⊥ AN, AD ⊥ MN, D 为垂足. 证明: 存在定点 Q, 使得 |DQ| 为定值.

已知椭圆 C : x2/a2 +y2/b2 =1过点 A(−2, −1), 且 a = 2b.(I) 求椭圆 C 的方程;(II) 过点 B(−4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M, N, 直线 MA, NA 分别交直线 x = −4 于点 P, Q. 求 |PB|/|BQ|的值.

在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 E : x2/4+y2/3=1 的左、右焦点分别为 F1、F2, 点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内, AF2⊥F1F2, 直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B.(1) 求 △AF1F2 的周长;(2) 在 x 轴上任取一点 P , 直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q, 求 ∙的最小值;(3) 设点 M 在椭圆 E 上, 记 △OAB 与 △MAB 的面积分别为 S1, S2, 若 S2 = 3S1, 求点 M 的坐标.

已知方程 kx2+y2=4 ,其中k为实数。对于不同范围的k值,分别指出方程所代表图形的类型 ,并画出显示其数量特征的草图.

如图,已知椭圆长轴|A1A2 |=6,焦距|F1F2 |=4,过椭圆焦点F1作一直线,交椭圆于两点M,N,设∠F2F1M=α(0≤α<π),当α取什么值时,|MN|等于椭圆短轴的长?

求经过定点M(1,2),以y轴为准线,离心率为1/2的椭圆的左顶点的轨迹方程.

已知椭圆Γ的方程x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0),点P的坐标为 (-a,b).(1) 若直角坐标平面上的点 M,A(0,-b),B(a,0)满足=1/2(+),求点M的坐标;(2) 设直线l1:y=k1 x+p交椭圆Γ于C,D两点,交直线l2:y=k2 x 交于点E,若k1•k2=-b2/a2 ,证明:E为CD的中点;(3) 对于椭圆Γ上的点Q(acos⁡θ,bsin θ)(0<θ<π),如果椭圆Γ上存在不同的两点P1, P2,使得+=,写出求作点P1,P2的步骤,并求出使P1, P2存在的θ的取值范围.

如图,直线l的方程是x=-p/2,其中p>0;椭圆的中心为D(2+p/2,0),焦点在x轴上,长半轴长为2,短半轴长为1,它的一个顶点这A(p/2,0).问:p在哪个范围取值时,椭圆上有四个不同的点,它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线l的距离?