高中数学-高考试题(新高考Ⅰ 2023年解三角形)

问答题（2023年新高考Ⅰ）

已知在△ABC中，A+B=3C,2 sin⁡(A-C)=sinB.

(1)求sinA；

(2)设AB=5，求AB边上的高.

答案解析

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讨论

高中数学

已知函数f(x)=a(ex+a)-x.（1）讨论f(x)的单调性；（2）证明：当a>0时，f(x)>2lna+3/2.

试证椭圆的二共轭直径与一准线所作之三角形之垂心为一定点.

一圆与二坐标轴及直线 x=a相切，求其方程.

解不等式>x+a,(a>0)并就图说明之.

河北工业大学行列式

过一定点作一直线 AB 平行于一定平面 P，且与另一定平面 Q 所成之角等于定角 θ.

于任意 △ABC 之各边上向外作等边三角形 BCD，CAE 及 ABF，试证此诸等边三角形的外接圆共点.若此点为 P，则 PA+PB + PC =AD =BE =CF.

设二曲线c1及c2的方程依次为x²+2xy-3y²+2x+2y+2=0及x²+y²-4=0，求1) 过 c1 及 c2的交点的抛物线；2) 过 c1 及 c2 的交点的二次曲线之心之轨迹.

设 F 是抛物线的焦点，在抛物线上任取一点 P 与焦点连接，由 P 作 PQ平于主轴，试证 P 点的法线平分 ∠FPQ.

设 A,B 为 x 的两个有理整式，请用辗转相除法说明并证明何种情况为互质，何种情况下有公因式.有公因式时，说明求最高公因式之方法并证明之.

解三角形

于正东正南甲乙二地，测得某山之仰角为 45°及 30°，今甲乙两地之距离为2400 尺，求山高.

设自 A 地量得敌人炮台所在地 B 及另一地 C 间之角 ∠ABC 为 70°20'，自C 地量得 ∠ACB 为 62°50'，且量得 AC 两地之距离为 10.6 公里问 A 地至敌人炮台之距离为若干?(sin62°50'= 0.8897；cos70°20' =0.3365)

两树相距 50 尺，在此树距地 5 尺处观他树之树顶与树根适成 90°之角，又观他树顶之仰角为 60°，求他树之高.

在平地上一点 A，测得某山顶 P 之仰角 (elevation) 为 60°，自 A 点，在平地上，向山麓前进 800 尺至 B 点.自 B 点沿一与平地倾斜 30°之斜坡，再向山顶前进 800 尺，至 C 点，在 C 点测得山顶 P之仰角为 75°.若 A,B,C,P四点在一垂直平面内，求此山之高.

于 A,B,C 三阵地测得敌机之仰角为 60°,45°,45°，今 B 地在 A 地正北 3000尺，C 地在 A 地之正西 4000 尺，求敌机之高，并讨论之.

A tower of 20.7 feet high stands at the edge of the water on a bank of a river. From a point directly opposite to the tower on the other side of the river above the water, the angle of elevation of the top of the tower is 27°17' and the angle of depression of the image of its top in the water is 38°12'. Find the width of the river.

Two towers, A and B, on the shore of a lake can be observed from only one point C on the opposite shore. The lines joining the bases of two towers subtend anangle of 63°42' at C. The heights of the towers are 132 feet and 89 feet, and the angle of elevation of the tops as seen from C are 8°13' and 7°21' respectively.Find the distance AB.

某人在高处望见正东海面上一船首，其俯角为 30°，当船向正南行 a 里后，求得船首俯角为 15°，问此人之视点高出海面若干?

曲线xy=a²上一切线与坐标轴成一三角形，求此三角形的面积.

已知三角形三边之长为 14 尺，16 尺，18 尺，求其三中线长.

平面解析几何

双曲线x²/100-y²/64=1的焦点为S,S1;，其中S位于x正半轴上. P为双曲线在第一象限上的一点，记∠SPS1=α,α<π/2. 过点S且斜率与双曲线在P点切线相同的直线，与直线S1 P交于P1点，记P到直线SP1的距离为δ,β=S1 P.则不超过βδ/9 sin⁡α/2的最大整数为______.

求与原点及直线x+4y=8等距离之点之轨迹方程式.

若l+m+n=0，试示方程式lx2+2nxy+my2+2mx+2ly+n=0表两直线.若此二直线与x轴交于A及B，与y轴交于C与D，试示AD,BC两直线之连合方程式为lx2+2lm/n xy+my2+2mx+2ly+n=0

求椭圆x²+5y²=5及圆(x+2)²+y²=5之实公切线之方程式.

于双曲线4/3 (x-2)2-(y+1)2=1中,已知其一直径之斜度为1/3，试求此直径及其共轭直径之方程式，若以此二共轭直径为新坐标轴,试求双曲线之新方程式.

有圆锥曲线方程式为 5x² -4y² - 20x - 24y + 4= 0，试求其中心、焦点、渐近线、准线.

试求经过二曲线 x²+2y² - 4x - 2y -6 =0及y² +xy-8 =0之交点且与x轴相切之圆锥曲线方程式.

求圆x²+y²=17之切线，使平行于直线x+4y=5.

求原点平移至(2,-5)后，曲线7x²+8y²-28x+80y+172=0之方程式.

A,B,C 为共线之三定点，动点 P 至A，B与 B，C 所张之角恒相等，试求 P 点之轨迹.