问答题(2022年全国乙·理2022年全国乙·文

已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B(3/2,-1)两点.

(1)求E的方程;

(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足(MT)=(TH).证明:直线HN过定点.

答案解析

(1)设椭圆E的方程为mx2+ny2=1,过A(0,-2),B(3/2,-1),则,解得m=1/3,n=1/4,所以椭圆E的方程为:y2/4+x2/3=1.(2)A(0,-2),B(3/2,-1),所以AB:y+2=2/3 x,①若过点P(1,-2)的直线斜率不存在,直线x=1.代入x2/3+y2/4=1,可得 M(1,2√6/3),N(1,-2√6/3),代入AB方程y=2/3 x-2,可得T(√6+3,2√6/3 ),由(MT) =(TH) 得到H(2√6+5,2√6/3 ).求得HN方程:y=(2-2√6/3)x-2,过点(0,-2).②若过点P(1,-2)的直线斜率存在,设kx-y-(...

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讨论

已知椭圆x2/2+y2=1的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A,B两点,点C在右准线l上,且BC//x轴.求证直线AC经过线段EF的中点.

已知F1,F2为椭圆C:x2/16+y2/4=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2 |,则四边形PF1QF2的面积为________.

已知Γ:x2/2+y2=1,F1,F2是其左、右焦点,直线l过点P(m,0)(m≤-),交椭圆于A,B两点,且A,B在x轴上方,点A在线段BP上.(1)若B是上顶点,||=||,求m的值;(2)若∙=1/3,且原点O到直线l的距离为4/15,求直线l的方程;(3)证明:对于任意m<-,使得//的直线有且仅有一条.

已知椭圆x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为B,离心率为(2√5)/5,且|BF|=√5.(1)求椭圆的方程;(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N,过N与BF垂直的直线交x轴于点P,若MP//BF,求直线l的方程.

求椭园25x2+9y2=100的长轴和短轴的长、焦点坐标,并且画出它的图像。

已知椭圆短轴长为2,中心与抛物线y2=4x的顶点重合,椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点,求椭圆方程及其长轴的长。

已知菱形的一对内角各为60°,边长为4,以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系,以菱形60°角的两个顶点为焦点,并且过菱形的另外两个顶点作椭圆,求椭圆方程.

已知椭圆x2/16+y2/4=1的左右焦点分别为F1与F2,点P在直线l:x-√3 y+8+2√3=0上.当∠F1 PF2取最大值时,比|PF1 |/(|PF2 |)的值为____________.

已知椭圆C:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为1/2.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是________________.

试证椭圆的二共轭直径与一准线所作之三角形之垂心为一定点.