高中数学-高考试题(全国甲·理 2022年古典概型)

填空题（2022年全国甲·理）

从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．

答案解析

6/35

【解析】

从正方体的8个顶点中任取4个，有n=C₈⁴=70个结果，这4个点在同一个平面的有m=6+6=12个，故所求概率P=m/n=12/70=6/35．

讨论

古典概型

从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为【】

甲乙各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5,7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分.然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的伦次中不能使用)，则四轮比赛后，甲的总得分不小于乙的概率为______.

已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1/2和 1/3. 假定两球是否落入盒子互不影响, 则甲、乙两球都落入盒子的概率为______; 甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______.

从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A∪B)= ________(结果用简分数表示).

甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.甲、乙二人依次各抽一题.（I）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（II）甲、乙二人中至少有一个人抽到选择题的概率是多少？

将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为【】

已知花博会有四个不同的场馆A、B、C、D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为__________.

从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为【】

一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.随机抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为a1,a2,a3，则事件|a1-a2 |+|a2-a3 |+|a3-a1 |=6发生的概率为__________.

假设P1,P2两人进行比赛，每回合两人分别投掷一枚均匀的骰子，设x,y分别为P1,P2投出的点数，若x>y，记P1得5分，P2得0分；若x=y，记P1,P2均得2分；若x<y，记P1得0分，P2得5分.设Xi,Yi分别为第i回合后P1,P2的总得分.列Ⅰ 列Ⅱ(Ⅰ)P(X2≥Y2 )= (P) 3/8(Ⅱ)P(X2>Y2 )= (Q) 11/16(Ⅲ)P(X3=Y3 )= (R) 5/16(Ⅳ)P(X3>Y3 )= (S) 355/864 (T) 77/432正确的选项为【】

概率

某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?并说明理由。

已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(2<X≤2.5)=0.36，则P(X>2.5)= ____________．

设O为正方形 ABCD 的中心, 在 O,A,B,C,D 中任取 3 点, 则取到的 3 点共线的概率为【】

在区间(0,1/2]随机取1个数，则取到的数小于1/3的概率为【】

袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回一个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为________.

在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于7/4的概率为【】

某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；(2)设函数f(c)=p(c)+q(c)，当c∈[95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]的最小值。

甲、乙两人在毎次猜谜语活动中各猜—个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对一方获胜，否则本次平局。已知每次活动中,甲乙猜对的概率分别为5/6和3/5，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为__________；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为__________.

在新冠肺炎疫情防控期间, 某超市开通网上销售业务, 每天能完成 1200 份订单的配货, 由于订单量大幅增加, 导致订单积压, 为解决困难, 许多志愿者踊跃报名参加配货工作. 已知该超市某日积压 500 份订单未配货, 预计第二天新订单是 1600 份的概率为 0.05. 志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货, 为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于 0.95, 则至少需要志愿者【】

某校为举办甲、乙两项不同活动, 分别设计了相应的活动方案: 方案一、方案二. 为了解该校学生对活动方案是否支持, 对学生进行简单随机抽样, 获得数据如下表:假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(I) 分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;(II) 从该校全体男生中随机抽取 2 人, 全体女生中随机抽取 1 人, 估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率;(III) 将该校学生支持方案二的概率估计值记为 p0. 假设该校一年级有 500 名男生和 300 名女生, 除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 p1. 试比较 p0 与 p1 的大小. (结论不要求证明)

正方体

在棱长为 10 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中, P 为左侧面 ADD1A1 上一点, 已知点 P 到 A1D1 的距离为 3, 点 P 到 AA1 的距离为 2, 则过点 P 且与 A1C 平行的直线交正方体于 P、 Q 两点, 则 Q 点所在的平面是【】

如果正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，则A′-ABD的体积是【】

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中E,F分别是BB1,CD的中点. (Ⅰ)证明AD⊥D1F；(Ⅱ)求AE与D1F所成的角；(Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1；(Ⅳ)设AA1=2，求三棱锥F-A1ED1的体积VF-A1ED1.

如图，长方体ABCD-A1 B1 C1 D1中，已知AB=BC=2,AA1=3. (1)若P是A1 D1上的动点，求三棱锥C-PAD的体积；(2)求直线AB1与平面ACC1 A1的夹角大小.

如图，已知长方体的对角线长为l，它与底面所成的角为α，底面两条对角线的夹角为β.求长方体的积体.

由正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作该正方体的对角线A1C的垂线，垂足为E，证明A1E:EC=1:2.

如图已知正方体ABCD-A1 B1 C1 D1,M,N分别是A1 D,D1 B的中点，则【】

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则【】

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P,Q,R,S分别为棱AB,BC,BB1,CD的中点，连接A1S,B1D.空间任意两点M,N，若线段MN上不存在点在A1S,B1D上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D1可视的点为【】

下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有【】