高中数学-高考试题(上海市 2021年正方体)

问答题（2021年上海市）

如图，长方体ABCD-A₁ B₁ C₁ D₁中，已知AB=BC=2,AA₁=3.

(1)若P是A₁ D₁上的动点，求三棱锥C-PAD的体积；

(2)求直线AB₁与平面ACC₁ A₁的夹角大小.

答案解析

(1)如图，在长方体ABCD-A1 B1 C1 D1中，VC-PAD=1/3 S△PAD∙hC-平面PAD=1/3×(1/2×2×3)×2=2； (2)连接A1 C1,B1 D1，交于点O，∵AB=BC，四边形A1 B1 C1 D1为正方形，OA1...

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讨论

棱锥

设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为【】

已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为【】

如图, 四棱锥 P − ABCD 的底面为正方形, PD ⊥ 底面 ABCD. 设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l.(1) 证明: l ⊥ 平面 P DC;(2) 已知 PD = AD = 1, Q 为 l 上的点, 求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值.

设三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角.求证：ABC是锐角三角形.

如图，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC,PA=BC=l，,PA,BC的公垂线,ED=h.求证：三棱锥P-ABC的体积V=l2h/6.

如图，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果E,F分别为SC,AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于【】

如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有【】对。

如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面射影O在△ABC内，那么O是△ABC的【】。

在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有【】个。

若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是【】

空间直线及关系

如图, 已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为 BC, B1C1 的中点, P 为 AM 上一点, 过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F .(1) 证明: AA1 // MN, 且平面 A1AMN ⊥ 面 EB1C1F ;(2) 设 O 为 A1B1C1 的中心, 若 AO // 面 EB1C1F , 且 AO = AB, 求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值.

日晷是中国古代用来测定时间的仪器, 利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间. 把地球看成一个球 (球心记为 O) , 地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角, 点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面. 在点 A 处放置一个日晷, 若晷面与赤道所在平面平行, 点 A 处的纬度为北纬 40°, 则晷针与点 A 处的水平面所成角为【】

在120°的二面角P-α-Q的两个面P和Q内，分别有点A和B . 已知点A和点B到棱α的距离分别为2和4，且线段AB=10.(1) 求直线AB和棱α所成的角；(2) 求直线AB和平面Q所成的角.

已知空间四边形ABCD中AB=BC,CD=DA,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点（如图）.求证MNPQ是一个矩形.

两条异面直线，指的是【】

已知三个平面两两相交，有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.

在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF中点. 现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G.那么，在四面体S-EFG中必有【】

如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点.求证：平面PAC垂直于平面PBC.

如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是【】

如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A，B两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB与轴oo'之间的距离等于______.

正方体

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中E,F分别是BB1,CD的中点. (Ⅰ)证明AD⊥D1F；(Ⅱ)求AE与D1F所成的角；(Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1；(Ⅳ)设AA1=2，求三棱锥F-A1ED1的体积VF-A1ED1.

在棱长为 10 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中, P 为左侧面 ADD1A1 上一点, 已知点 P 到 A1D1 的距离为 3, 点 P 到 AA1 的距离为 2, 则过点 P 且与 A1C 平行的直线交正方体于 P、 Q 两点, 则 Q 点所在的平面是【】

如果正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，则A′-ABD的体积是【】

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P,Q,R,S分别为棱AB,BC,BB1,CD的中点，连接A1S,B1D.空间任意两点M,N，若线段MN上不存在点在A1S,B1D上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D1可视的点为【】

下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有【】

由正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作该正方体的对角线A1C的垂线，垂足为E，证明A1E:EC=1:2.

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则【】

如图,从一个棱长为6米的正方体中裁去两个相同的正三棱锥，若正三棱锥的边长AB为4√2,则剩余何体的表面积为【】

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB,BC的中点，则【】

如图，正方体ABCD-EFGH的棱长为2，在正方形ABEF的内切圆上任取一点P1，在正方形BCGF的内切圆上任取一点P2，在正方形EFGH的内切圆上任取一点P3，求|P1 P2 |+|P2 P3 |+|P3 P1 |的最小值与最大值.