高中数学-高考试题(河南省 1977年微积分)

计算题（1977年河南省）

求dx的值.

答案解析

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讨论

高中数学

设y=ln⁡(x+)，求y的导数y'.

已知x+x-1=2cosθ，求证：xn+x-n=2cosnθ.

某电管所为实现农业现代化，加強电力网的建设，沿着一条通往农村的新公路栽电线杆，已知一辆汽车每次从电管所运3根电线杆，相邻两根电线杆的距离为50米，汽车往返的总行程是35.5公里，最后一根电线杆与电管所的距离是2450米.(1)问第一根电线杆与电管所的距离是多少？(2)共栽了多少根电线杆？

已知过点P(0,3√2)且斜率为k的直线与圆心在原点半径为3的圆相交于M,N两点.(1)求M,N的坐标；(2)问当M,N重合时，k为何值？此时，过点P的直线和圆的位置关系如何？过样的直线有几条？它们的夹角是多大？

某工厂科研小组，对一项生产工艺过程总结出产量指标函数和消耗指标函数分别为：f1 (x)=ax2+1/2 x+C和f2 (x)=ax2+bx+5/4，且知f1 (-1)=f2 (-1)=f1 (3)=f2 (3)=2.(1)分别求出产量指标函数f1 (x)和消耗指标函数f2 (x)的具体表达式；(2)问因素x取何值时，f1 (x)和f2 (x)有最大值或最小值，最大值或最小值各是多少？(3)画出所求出的函数的略图.

如图，已知长方体的对角线长为l，它与底面所成的角为α，底面两条对角线的夹角为β.求长方体的积体.

求证：tg2α - ctg2α = -2sin4α/sin3α.

如图，已知正方形ABCD的边CD上任意一点E.延长BC到F，使CF=CD.设BE与DF相交于G，求证：BG⊥DF.

已知a,b,c分别表示△ABC的角A,B,C对边的长，求证：a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.

求等式=125中x的值.

微积分

利用积分计算椭圆x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)所围成的面积.

已知y=e-xsin2x，求微分dy.

不大于log2⁡(x3+1)dx+(2x-1)1/3dx的最大整数是______.

令S=(lnx)5/x²dx，则[S]=______.

关于方程(lnx)1/2/(x[a-(lnx)1/2]2) dx=1,α∈(-∞,0)∪(1,+∞)，下列叙述正确的有【】

对于一个实数x，令{x}=x-[x]. 记S=min⁡({x/8},{x/4}) dx，则[S]=______.

定义在全体实数上的连续函数f(x)满足下列条件：当n-1≤x<n时，|f(x)|=|6(x-n+1)(x-n)|( n正整数)定义在开区间(0,4)上的函数g(x)=f(t)dt-f(t)dt.若g(x)在x=2处取得最小值0，则f(x)dx的值为【】

记曲线y=x3+x2,y=-x2+k(4<k<5)与y轴围成的面积为A，这两条曲线与直线x=2围成的面积为B，如图所示，若A=B，则k的值为【】

对于函数f(x)，已知f'(x)=4x3-2x，且f(0)=3，求f(2)的值.

Find the area bounded by the curves.y = sinx of y = 1/2sinx between x = 0 and x = π.

导数与微分

若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln⁡(x+1)+a的切线，则a=______.

函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【】。

设函数 f(x) = x3 + bx + c, 曲线 y = f(x) 在点 (1/2 , f(1/2))处的切线与 y 轴垂直.(1) 求 b;(2) 若 f(x) 有一个绝对值不大于 1 的零点, 证明: f(x) 的所有零点的绝对值都不大于 1.

已知函数 f(x)=x3+klnx (k ∈ R) , f′(x) 为 f(x) 的导函数.(I) 当 k = 6 时,(i) 求曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线方程;(ii) 求函数 g(x)=f(x)+f'(x)+9/x 的单调区间和极值;(II) 当 k ⩾ −3 时, 求证: 对任意的 x1, x2 ∈ [1, +∞), 且 x1 > x2, 有f'(x1+x2)/2 > (f(x1 )-f(x2))/(x1-x2 ) .

如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧的长为2/3AP，直线PC与直线AO交于点M.又知当AP=3π/4时，点P的速度为v，求这时点M的速度.

求y=xarctanx2的导数.

设y=xln(1+x2)，求y'.

设函数 f(x) = ex/(x+a). 若 f′(1) = e/4 , 则 a = ______.

求y=cos2 的导数.

若函数f(x)=alnx+b/x+c/x² (a≠0)既有极大值也有极小值，则【】